CHAPITRE VII. — FIGURES D'ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

79. Interprétation de ces solutions. — Pour savoir quels sont les ellipsoïdes de Maclaurin qui fournissent ces solutions, nous allons chercher si les ellipsoïdes infiniment voisins sont de révolution ou non. Or, nous avons en tous les points de la couche, c’est-à-dire sur l’ellipsoïde primitif V° et sur l’ellipsoïde dérivé VJ,

V? = yo H- V'o avec y° = A#2-!- B(/2-i- z-) -h G.

Pour R/f — R 7 ( troisième solution), on a

v'»= eb7m7n-= k' ( — ’■■ ■■ +■ xl+J: t\

\ ax — «2 a, — c- /’

alors VJ pourra se mettre sous la forme

Le nouveau potentiel provient d’un ellipsoïde de révolution.

Il y a donc un ellipsoïde de Maclaurin qui admet une figure d’équilibre infiniment voisine, qui est encore de révolution, et cela en conservant la même vitesse de rotation, comme nous l’avons admis. Reportons-nous à la courbe des ellipsoïdes de Maclaurin, on voit qu’il n’y a qu’un ellipsoïde qui en admette un autre infiniment voisin avec la même vitesse de rotation, c’est celui qui occupe le sommet de la courbe qui possède la vitesse de rotation maximum ( fig. 17, n° 19). En ce point, en effet, pour un petit déplacement parallèle à Taxe des /, la vitesse reste la même et l’aplatissement augmente ou diminue suivant le sens du déplacement.

Le passage d’une figure à l’autre s’explique très bien, d’ailleurs, en se reportant au cas p = o. Ici, on a n — 2, et la nouvelle surface coupe l’ancienne suivant deux parallèles symétriques par rapport à l’équateur. On a encore un ellipsoïde de révolution, mais plus aplati ou moins aplati que le précédent, selon le cas {fig. 3^).

Pour R* = R4 {première solution) ou R/t = R8 {seconde solution), l’ellipsoïde n’est plus de révolution. En effet, on a, à un facteur près,

Ri My N4 — y z, R 8 M 8 N 8 = y 2 — z* ,

et le potentiel résultant prend l’une des deux formes

V» = A'#2-f- B'(r2H- Z*) H- G 'yz H- D', ' Vf = A#«*h- B>2h- G'^-h- D\

Ces potenliels ne peuvent pas provenir d’ellipsoïdes de révolu lion.

Nous avons vu que R-, vérifiait l’équation des ellipsoïdes de Jacobi, et, par conséquent, cet ellipsoïde ne peut être que l’ellipsoïde de bifurcation, commun aux Maclaurin et aux Jacobi, c’eslà-dire l’ellipsoïde E.

Nous voyons, en effet, sur la courbe représentative des deux séries, que si l’on coupe par un plan parallèle au plan horizontal et situé un peu au-dessous de E, on détermine deux ellipsoïdes de Jacobi et un de Maclaurin, qui viennent se confondre quand on se rapproche de F ( fig. 20 et 21, n° 22).

On voit que cette figure nouvelle correspond bien au cas p — n. Ici n — 2, et la nouvelle surface coupe l’ancienne suivant deux méridiens, en étant tangente à l’ancienne aux pôles. La figure n’est

Fig. 87 bis.

donc plus de révolution, il apparaît un axe b ^ c, alors que a conserve la même valeur; b = OB' et c = OC' > OB' (fig* 3^ bis).

80. Détermination du premier ellipsoïde de bifurcation. — Considérons l’ellipse méridienne de l’ellipsoïde de Maclaurin, on a, FF' étant la distance focale et AA' le petit axe,

L’origine des coordonnées sur la courbe des ellipsoïdes de Maclaurin s’obtient en faisant 1 = o, c’est-à-dire p et s infinis.

âa‘‘