CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

Quand on se déplace sur la courbe, dans le sens des l croissants ou des aplatissements croissants, le premier ellipsoïde de bifurcation que Ton rencontre est l'ellipsoïde E.

Pour le montrer, nous allons démontrer d’abord que la fonction suivante F est toujours positive pour les ellipsoïdes de Maclaurin de bifurcation :

Ri S, R/C S /,;

Or, on a ici

Rv = p - — c-= h\ 1 -h s 2 ), R/, = h{ (1 s2)2

dsn+P

Il suffit de démontrer que le rapport est toujours croissant.

Or, R/f vérifie l’équation (99) des fonctions sphériques. Multi-

ds

plions-la par 1 — t-, remplaçons t par is et posons du — il vient

R , correspond au cas p — n = 2, on a donc également

d* R, did

Prenons maintenant la dérivée du rapport en question, on a

d /RA R/R, — RVR/t du\nj r>;

Le numérateur s’annule pour 5 = 0, car R'/; et R'4 contiennent s en facteur. La dérivée de ce numérateur peut s’écrire

R'i R.t — R'i R/c .== R/cR', J n ( n -+- 1) — (p2-+- 2) -h [n(n -h 1) — 6] s2 j .

Or RaR4 est toujours positif, le crochet aussi pour /i> 2 et p^n. Cette expression est donc toujours positive. Il en est de même de la dérivée du rapport. Ce rapport est donc toujours croissant, et la fonction F garde toujours le même signe.

Or, pour p très grand, on a, en ne considérant que les valeurs

principales,

RîSi==j RyS, = i • R* S* i

d’où

Ri Si R* S* R*Sjfc

Puisque F conserve toujours le même signe quand p varie, la

dernière inégalité subsiste toujours. Faisons alors décroître pou s ,