CHAPITRE VII. — FIGURES D ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. KJ I

Faisons alors croître p ou s , ce qui correspond à des aplatisse- R S

ments croissants ; la valeur — 1 traversera successivement les autres

valeurs, suivant l’ordre croissant des n. Toutes les solutions ainsi déterminées et correspondant, par exemple, à n — 2, seront rencontrées avant celles de n z= 3 et celles-ci avant celles de n — 4? et ainsi de suite, sur la courbe des Maclaurin.

Prenons ri = 77, l’expression ci-dessus se réduit à p2 — p'1. On aura alors

si

Ri S, R/;S/y ï\/}'Spr 3 : 1/1 h- 1 ' 2 n -i- 1

p1 — jo'2> o, c’est-à-dire //</?.

Par conséquent, parmi les figures de bifurcation du même ordre, correspondant au même /?, on rencontrera d’abord celles correspondant à /> — /?, puis successivement les k autres

p — n — 2, p — n — 4, .... p = o ou p = 1.

On sait en effet que, sur la courbe des Maclaurin, on rencontre d’abord l'ellipsoïde E, qui correspond à n = 2 et p = 2, puis l’ellipsoïde E0, de vitesse maximum, au sommet de la courbe, qui correspond à a = 2 et p == o.

Si nous considérons des figures d’ordre consécutif, on a

et la condition pour que l’expression ci-dessus reste positive est

On ne peut rien dire sur l’ordre des figures qui ne réalisent pas cette condition.

Si l’on considère des figures correspondantes, c’est-à-dire p'— p 4- ï (comme par exemple p'= ri et p — n ), on a

et la condition est toujours réalisée, car on a p^n. Par conséquent, les figures correspondantes, d’ordre différent, seront toujours placées sur la courbe dans l’ordre des n croissants et des aplatissements croissants.

Remarque I. — En étudiant plus haut les cas de dégénérescence avec a — b, ellipsoïde de révolution allongé, on a obtenu

et l’équation de Lamé peut s’écrire, dans ce cas,

où

R" = [n(n -h i) (p2 — a2 ) H- jo2 ( ci- — c- ) ] R . p- — a- > o: a 2 — c 2 > o.

L’expression considérée plus haut pour IV/. R, — Ri R* serait toujours positive pour n ' >> n. Or, les ellipsoïdes critiques de Jacobi se rapprochent très rapidement des ellipsoïdes de révolution allongés. De plus, il n’j a qu’un ellipsoïde critique correspondant à chaque valeur de n. On peut donc dire qu’ils seront rencontrés également sur la courbe des Jacobi dans l’ordre des n croissants.

Remarque IL — En traitant le second cas de dégénérescence, c’est-à-dire b — c , ellipsoïdes de révolution aplatis, suivant les indications données, on trouve

d’où l’on déduit

au lieu de + p- dans le premier cas. On en déduit, en remplaçant II par celte valeur,

d1 R clu-

= [«(w + i)(p2— c2)— />2(«2— c2)]Rr

c’est bien la même expression que celle indiquée ci-dessus.

Remarque III. — Pour n — 4 et p — o, on a la première figure à cannelures. L’ellipsoïde de révolution se creuse suivant deux parai-