R* S* R* SA
APPELL. — IV
On a déjà vu que si le rapport varie toujours dans le même sens, c’est-à-dire si R/f est divisible par Rf, la première équation ne peut pas avoir de racines, ce qui réduit à 4 les 8 formes correspondant à chaque valeur de n.
De même si le rapport ^ varie toujours dans le même sens, la seconde équation n’aura pas de solution. Il faut donc exclure ces cas parmi les quatre formes acceptables.
Soit n pair et la première forme
Le polynôme /(p2) a toutes ses racines réelles et comprises entre a- et c2. Désignons par a la plus grande racine de /(p2) nous pouvons écrire
/(P2) = (P-2— a)(p'2— ai)(p2— «2>- • R4== \/(P2— G')
et
— ai)2
Or, les deux premiers facteurs sont constamment croissants. L’expression homographique ~ p ~ 1 ~ est constamment
croissante, puisque a >c2.
Il en sera de même de — — i si l’on a a >> b~.
Pour que / (p2) convienne, il faut donc que sa plus grande racine soit inférieure à 62, c’est-à-dire que toutes ses racines doivent être comprises entre b- et c2.
Or, M. Klein a démontré que, parmi les k + 1 polynômes d’ordre ji = 2k, il y en a toujours un et un seul dont toutes les racines sont comprises entre b 2 et c2. Les autres polynômes ont successivement 1, 2, 3, . . . , k racines comprises entre a2 et b2. On pourra consulter à ce sujet une intéressante Note déjà citée de Stieltjes ( Œuvres complètes , t. I, ou Acta mathejnatica, t. YI, 1 885).
Il y aura donc toujours un polynôme R ~ /(p2), et un seul, qui vérifie l’équation de condition et donne un ellipsoïde de bifurcation.
La seconde forme
