CHAPITRE VIL — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. ig

donne

Ce rapport va toujours en croissant et ce type ne fournit pas de solution.

Soit n impair, on a également à considérer deux formes. La première donne

Mais on a a > c2, la fonction homographique du second membre est toujours croissante et le rapport aussi. Il n’y a pas de solution. La dernière forme

donne

Il faut encore que l’on ait a<<62, c’est-à-dire que toutes les racines de /(p2) soient comprises entre b 2 et c2. Le théorème de M. Klein établit de même qu’il n’y a qu’une fonction de Lamé remplissant ces conditions.

En résumé , parmi les 2/i-b i fonctions de Lamé d’ordre n , que n soit pair ou impair, il y a toujours une fonction et une seule telle que R* satisfasse au système (220) et donne un ellipsoïde de bifurcation. Il y a toujours un point de bifurcation , et un seul , pour chaque valeur de n.

Ces conditions sont suffisantes. Si elles sont remplies, il y a nécessairement des solutions. En effet, considérons de nouveau la fonction F dont les racines sont solutions du système (220)

P I h s 4 Pv/çS/c ^ 5 2W + I

Faisons varier b 2 de a 2 à c2. Pour 62 — a2, l’équation (1) de (219) donne p2 = d1 et R4S4=:o. Alors on a F<o, car RAS/f>-o. Pour b 2 =c2, on retombe sur le cas des ellipsoïdes de Maclaurin, et l’on a vu (n° 80) que l’on avait alors F >> o. L’équation a donc au moins une racine et le système une solution. Liapounoff a

démontré qu’il n’y avait qu'une racine et qu’une solution, dans son Mémoire Sur la stabilité des figures elh psoïdales ( 1 884) * Pour chaque solution du système (220), c’est-à-dire pour chaque valeur de //, il y aura donc un ellipsoïde cr itique et un seul. Nous allons étudier les plus simples.

82. Étude des figures voisines des Jacobi. — Pour zz = 1 , il n’y a pas de solution. Pour n = 2, nous avons trouvé l’ellipsoïde E, commun aux Maclaurin et aux Jacobi. Nous étudions donc d’abord n == 3.

Dans ce cas, n est impair, R* doit être de la forme

Quelle est la forme de Ç? En remarquant que R* est une constante sur l’ellipsoïde, nous pouvons l’écrire

f = ^-R*M*N* = .sR*M*N*.

Nous avons d’ailleurs

d’où

7* = £ V^CP2 — c’2) (P2 — c2) (v2— c2) (p2— a) (p2 a) (v2 — a).

Or, le radical est égal à 3, le reste donne une expression du second degré d'après (122), et l’on a

Pour avoir le signe de Ç, il suffit de considérer l’intersection de notre ellipsoïde avec le plan z—-o , qui le coupe suivant une ellipse principale et avec la surface

qui est un hyperboloïde à deux nappes, car on a c2 < a < b2 et, par conséquent, a — a2 < o et a — b2 <C o. L’intersection de cette quadrique avec Ox et avec O y n’est pas réelle. L’expression cor-