CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. I
respondante est négative dans la région de l’origine. Si l’on suppose s' >• o, Ç sera positif dans la région I, et sera alternativement négatif et positif dans les autres (fig. 3g).
Fig. 3n. Fig. 3g bis.
En traçant la section principale de la figure d’équilibre, on obtient la figure (3g bis) que Poincaré appelle piriforme et Darwin pearshaped. Cette figure n’est pas symétrique par rapport au plan principal xO y qui contient l’axe de rotation O#, ni par rapport aux autres plans.
Si l’on suppose s! <C o, les signes de Ç sont intervertis et l’on obtient la figure symétrique de la précédente par rapport au plan zOx.
Fig. 4o.
La valeur de a sera donnée par la formule (218), n° 78, où l’on prendra celle des deux racines qui est comprise entre b'2 et c2. Nous donnons dans la figure 4° le dessin schématique de Poin-
caré {Leçons sur les figures d'équilibre , p. 161). Il y représente en ponctué le contour apparent de l’ellipsoïde, en traits pleins l’intersection de la nouvelle surface avec l’ellipsoïde et le contour apparent de cette surface extérieur à l’ellipsoïde, en ponctué le contour apparent intérieur à l’ellipsoïde. L’intersection de la figure piriforme avec l’ellipsoïde se compose de deux lignes de courbure de la même famille : l’axe de la rotation est désigné par z’z. Quand £ change de signe, la surface garde la même forme : les parties gauche et droite s’échangent. M. Jeans a assimilé la forme de l’écorce de la Terre à la figure piriforme, avec des précisions des plus suggestives ; mais, comme le dit déjà Poincaré, les résultats obtenus pour les liquides homogènes ne permettent aucune conclusion pour une planète hétérogène.
Calculs pratiques de Darwin. — La figure piriforme a été calculée d’une façon précise par Darwin dans les Philosophical Transactions , 1902, A, 1. 198. La figure réelle est moins ramassée que celle esquissée par Poincaré. Il n’y a pas d’inflexions pour les sections principales, comme l’a montré P. Humbert (<), même si la figure n’est pas infiniment voisine de celle de l’ellipsoïde.
En prenant pour volume de l’ellipsoïde T — c’est-à-dire en faisant abc = 1, on trouve :
i° Pour les demi-axes de l’ellipsoïde de bifurcation,
OA = o,65, OB = 0,81, OC = 1,88.
20 M et M' étant les projections sur le plan des xz de l’intersection de la section principale xOz avec l’hyperboloïde à deux nappes, on a
OM
oc =0’7Ù-
Enfin, la vitesse critique de rotation est
Poincaré et Darwin disent qu’une fois cette déformation com-
(') Thèse , Faculté des Sciences de Paris, 1918.
