CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES
sentons (fig. 41 bis) la première surface telle que l’a donnée schématiquement Poincaré dans scs Leçons , p. 162. Cette surface
Fig. 4 x bis.
a été comparée à un haltère. Elle est dite positive. Elle est en réalité plus allongée que ne le pensait Poincaré, comme on le verra au numéro suivant.
Ici encore, Darwin pense que si la vitesse de rotation augmentait, les concavités se creuseraient et que la masse donnerait naissance à deux satellites.
Cas général. — Ces deux cas n = 3 et n = 4 nous fournissent les deux types principaux de figures critiques d’équilibre, qui se retrouvent dans tous les autres.
Lorsque n est impair, la figure n’est pas symétrique par rapport au plan xy et le changement de s en — e donne la même figure, ayant tourné de 180° autour de Ox.
Lorsque n est pair, il y a symétrie par rapport au plan des xy. De plus, les deux figures correspondantes pour e < o et £>o sont distinctes réellement l’une de l’autre.
Il est probable, comme on l’a déjà dit, qu’à chaque valeur de 71 correspond un seul ellipsoïde critique. On voit que chaque fois que n augmente d’une unité, il s’introduit l’expression d’un nouvel hyperboloïde à deux nappes dans l’expression de Ç et un nouvel étranglement dans la figure d’équilibre.
Remarque. — Pour se rendre compte de ces conclusions, il n’est pas nécessaire de recourir à la considération des hyperboloïdes à
deux nappes. En effet, dans le cas général, on a
P = sR,M*N*
avec
ou
Rj=^/^72/(p2)) M *=v/Fr^/(M-,)> N*'a v/ÏW?/(v*),
Or les polynômes / ont leurs racines comprises entre b - et c- . Gomme on a
c2< v2 < 62< fx2< a2<p2,
on voit que N* seul peut s’annuler. Or, les courbes const. et v = const. représentent les lignes de courbure de l’ellipsoïde, celles des p. entourent le petit axe et celles des v le grand axe. Enfin, dans le cas où n est impair, parmi les v on a v2 = c-: qui représente l’ellipse du plan xy.
Nous voyons alors que Ç ne peut s’annuler que pour N* = o, c’est-à-dire sur les lignes de courbure des v, racines de N* = o.
Donc, si n est impair, on aura d’abord sur l’ellipsoïde l’ellipse principale z — o et en posant n = 2 k -f- 1 , on aura encore k lignes de courbure au-dessus et k au-dessous qui donneront alternativement des régions avec le signe -f- et — et l’on aura comme section une courbe ondulée, non symétrique.
Si n est pair, n — 2.k , il y aura k lignes de courbure au-dessus du plan xy et k au-dessous et symétriques, qui fourniront une figure symétrique par rapport au même plan.
83. Calcul des éléments des ellipsoïdes critiques à trois axes. — Les calculs des éléments des ellipsoïdes de bifurcation et des figures voisines qu’ils engendrent ont été faits d’abord par G. H. Darwin pour la figure piriforme, par une méthode longue et compliquée (*). Darwin donna pour la première fois la forme exacte de la figure piriforme, qui est plutôt ovoïde et dont les sections principales n’ont pas de points d’inflexion.
(l) Scientific Paper s, p. 188^ Philos. Trans. of the Royal Soc., I. 198, A, 1901, p. 3oi-33i.
