CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. 2o
LiapounofF, dans la troisième partie de son Mémoire (4), a donné une méthode de résolution numérique plus simple et plus pratique. Il a calculé les éléments des figures d’ordre n = 3 et n — 4 sans donner ces figures elles-mêmes.
P. Humbert a repris la question et étendu les calculs aux figures de Poincaré d’ordre 5 et 6 (2).
Notations. — Pour déterminer les jacobiens critiques, nous avons les deux équations
et nous savons qu’il n’y a qu’une valeur de k pour chaque valeur de n. Ces deux équations pourront servir à déterminer les rapports des trois axes et par conséquent la forme exacte de la figure. En leur adjoignant l’équation qui définit la conservation de la masse ou du volume, on en déterminera les dimensions exactes. Désignons les axes par A, B, C; on a
l’axe des x étant l’axe de rotation.
L’un des quatre paramètres p, a, &, c est arbitraire pour définir les trois axes. Poincaré prend c~ o, d’où C = p, ce qui simplifie beaucoup tous les calculs théoriques et pratiques.
En faisant de plus a = 1 , on réduit les paramètres à deux et les formules auront l’avantage de s’identifier immédiatement avec les formules de dégénérescence, quand on passera aux ellipsoïdes de révolution où b = c et B == C.
LiapounofF particularise également deux paramètres en écrivant l’équation de l’ellipsoïde sous la forme (219)
Ri Si = R4S4 ^ nksk 3 -5 2/1 H- 1
0) Sur les figures d' équilibre peu différentes des ellipsoïdes , Saint-Pétersbourg, 1912.
(2) Sur les surfaces de Poincaré , Thèse, 1918.
204 figures d’équilibre d'une masse liquide en rotation.
Les axes sont alors
il est facile de les identifier avec ceux indiqués ci-dessus en prenant
Darwin, au contraire, introduit l’équation de la masse par la condition ABC = i . Pratiquement, les calculs numériques sont alors beaucoup moins simples qu’avec les notations précédentes. Dans les calculs qui suivent, nous conserverons autant que possible la notation symétrique à quatre paramètres, pour n’introduire les simplifications qu’en dernier lieu.
Solution approchée. — - Darwin a remarqué que les ellipsoïdes critiques se rapprochent très vite de la forme d’ellipsoïdes de révolution allongés. On peut en profiter pour trouver une première valeur approchée des axes. Les fonctions R et S deviennent les fonctions adjointes de Legendre de première et de seconde espèce et
Pour les premières de celles-ci, où n — i etp~i, on a les expressions connues
= Qj = — — -h
X] est donné par la formule générale (io5), et il suffit de faire b — a dans l’expression générale de S pour retrouver la valeur de Q | . On a
Ri = vV2— D'2= (p2— a2)2(p2— c2),
3R, n^3K, T prfpy •
Jp h T R J p ( p2 — a2)2 \/p2 — c'2
En posant
on obtient
