CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. 2l

On peut obtenir plus simplement cette expression en remarquant que l’expression (221) du numéro précédent, qui donne la valeur de la déformation Ç de l’ellipsoïde, est un produit de Lamé, qui doit vérifier l’équation de Laplace A Y == o

AV

ç. ,/ïî . z! , £! A

/ “ \ol — a2 ^ a — b** a — c2 /’

En annulant le crochet, il vient

En faisant c — o on retrouve l’expression (240)- En faisant enfin a — 1 , on a

Cette expression donnera une valeur approchée de a en fonction de la valeur approchée b , trouvée plus haut.

On a ensuite, en remarquant que l’expression R'(a) de K(p2), formule (240), est la dérivée de R par rapport à p2, où l’on a fait Pa=a)

d’où

On a donc

t/R c/R c/p2 2 p do

tr

On obtient encore

d’où, pour l’expression qui donne RS,

^8> é=Dî^ + ^

Ges expressions portées dans (23g) permettront de calculer une première valeur de G, correspondant à et a,.

Remarque . — • LiapounofF dans sa notation écrit

p- — c 2 ou p2 est remplacé par p H- i . Pour identifier avec l’expression de R en a, il faut remplacer ici p par p2 — i . On aura

Cette formule donne la valeur des expressions h de LiapounofF eji fonction des racines a de R. On obtient alors

C’est l’expression donnée par LiapounofF pour la fonction J qui remplace R„ S„, sauf qu’il la donne sous la forme compliquée J au

lieu de celte forme plus simple -J •

Par des approximations successives il a obtenu

ce qui correspond dans la notation de Poincaré à

On peut prendre pour valeurs exactes fr2 — 0,9281 et pour les axes p2— i.i352’ p-2 — b-— 0,2121, p2 — i = o,i352.

On en déduit au moyen de (245') la valeur

Les éléments de l’ellipsoïde de bifurcation, qui conduit à la figure piriforme, seront

ou, en prenant le grand axe C comme unité, les valeurs des deux