CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. 2l

autres axes sont

Cet ellipsoïde de bifurcation est déjà très allongé, puisque l’axe de rotation n’est que le tiers du grand axe et l’axe moyen moins de la moitié du même axe.

En introduisant la condition de Darwin relative au volume, ABC = 1, les nombres de Liapounoff donnent, avec quatre décimales exactes,

Les calculs de Darwin donnent les mêmes nombres, qui ne diffèrent que par la quatrième décimale dans C = 1 , 8858 .

Détermination du second ellipsoïde de bifurcation n=/\, — On a

Comme il n’y a pas de radical, il sera plus simple ici de prendre les dérivées par rapport à p2. On peut alors simplifier l’équation

différentielle de R (243) en remplaçant A par ? • On pourra écrire

les dérivées étant prises par rapport à p2. Il vient alors

(D2)' = 3p4 — 2Sp2~b P,

en posant

On a ensuite

( R7l= p4— (at-f- a.2)p2-+- aia2= p4— 5p2H- r,

( R'rt= 2 p2— -(<*!-*- a2) = 1 p2— s, R" =2, s = ai H- a2, r — ot± a2.

L’équation différentielle (2.01) devient

8(p6 s p4H- Pp2 Q) 4- 2(3 p4— 2Sp2^ P) (2 P2- 5)

= (20 p2-f- II) (p4 — 5 p2 H- r).

2 1 6 FIGURES D'ÉQUILIBRE D’üNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

En annulant successivement les coefficients de p*, p2 et le terme constant, on obtient

i II = 14 s — 16 S;

(253) < sH = 2o/* — 4Ss — 12P,

( ru — — 2 P s — 8Q;

(7 s2 — 6Ss =ior — 6 P.

L’élimination de H et de r donne la valeur de s par une équation du troisième degré

(254) 49s3 — 98 S s2 -b 4(i2S*+i3P)* -h 8(5 0 — 6PS) = o.

Pour les calculs numériques on fait ici c = o et a = 1 , d’où

(254') 49S3 98(l -h b-)s--Jr~ 4(l2 -h 37 — r- 12 6*)s 48^2(l -+* b'2) = O.

Cette équation détermine s , connaissant b , puis l une des équations (253') détermine /*. O11 obtient ainsi les racines a, et a2 de R„.

La solution approchée doit être portée dans l’expression G. Il faut déterminer R^S/j, c’est-à-dire H. On a ici successivement

R'(ai) =— R'(a-2) = oti — a2, R'2(cq) = (ai— aa)2= *2— 4 r,

K(p5) =(a,-a5)*- + 9*=^) = (*i — Ïs)s JR ‘

On tire de ces formules les valeurs de H et H'(Ry = 2) :

(«JL— «0* VR 2 r J’

2 R — R'2 ir 2 Ri 2 R — R'2

“ (ai a,)îRd lî “"R" 2 Rx R'— RR 2 ’

où R 1 et R', sont les valeurs de R et R' quand on y fait p2 — a2 = 1 :

Ri = (i — «s)(i — a0j R'i = 2 — (ai-f- ou).

Dans la notation de LiapounofF, on a

Rn=(pj+/0(P-L):

s' = h { ~ h2 = 1 — 3i H- 1 — a2 = R', , r' = h\h2 — (i — at) ( 1 — ou) = Rj.