SS B

fd G \dx

-+-^rft = J (aG + pH + vK) di

Pour interpréter géométriquement cette formule, considérons le vecteur F ayant pour projections G, H, K (champ de vecteurs); on appelle divergence du vecteur en un point la quantité

„ dG <m dK

div F( = H h -T- •

dx dy a z

Cette quantité a une signification géométrique indépendante du choix des axes; cela résulte de ce que la quantité

«G+pH + yK . = Fn,

qui est la projection du vecteur G, H, K sur la normale extérieure, est aussi un invariant dans le cas d’un changement d’axes. La formule de Green s’écrit alors avec ces notations, où ne figurent plus que des éléments invariants :

C div FÆ = f F nd<J.

Cas particulier intéressant. — Posons maintenant

TdV

ày7

K = lÆ

ôz

dG à H dK

dx dy dz

(d*Y d2 V d'2 V \ dU dV dÜ'dV dû dY

~ — : 1 ; — ~ -4- — — - I 4- - — -t — - H- : — 4- rx 3 — ?

{oz dz

lu (£L ,

\d^72 dy 2 dz2 / dx dx dy dy

et l’équation (i) devient (A étant l’opérateur de Laplace)

r wt , F/du dv du dv du dv\ , i L AV* yft (w te+<tyTy+Tzà. s) *

r,,( dv „dv àv\ ,

Js \ dx ^ dy\ dz )

Posons encore

dV * dx

dy =

^ dz

Cette expression est appelée la dérivée suivant la normale exté-

l4 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

rieuve , dV étant la variation de V quand on passe du pied M de la normale au point M' distant de dn sur cette normale. On a alors

f* tt wt j r/dUdY àU àY âV âY\ fTTrfV,

(4) jf u ^ - + ¥ + - -y-, = /s u ^ *.

Si les fonctions considérées G, H, K dérivent d’un potentiel V on a U = i , et la formule de Green devient

f AV dx= f

On peut faire encore dans celte formule U = V ou U = <p(V), et l’on obtient d’autres formes remarquables de la formule de Green.

Changeons, par exemple, V en U et U en V ; on a

f \ 'AU du- f (-

àx àx

dV dU dy ày

àY ÔV àz

v dlj J

Y dry.

En retranchant ces deux dernières expressions, on obtient

<5-) /(U AV - VAU) rfx = jf (ü g - vf )

Nous aurons à considérer en général des fonctions uniformes et finies à l’intérieur des domaines étudiés. Si pourtant, en certains points du volume, la fonction sous le signe somme devient infinie, on tourne la difficulté de la façon suivante. On entoure le point singulier A d’une sphère <r d’un rayon très petit, ayant ce point

Fig. 2.

pour centre. Dans le volume compris entre la surface S et la sphère a, il n’y a plus de point singulier et l’on peut y appliquer