CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

On obtient alors la formule ci-dessus de II, où Rf et Rd sont remplacés par r et s' .

Le signe de G permettra de déterminer une aulre valeur p2 de p de manière à avoir p f <T p <1 po et ainsi de suite. On calculera de

même des valeurs de plus en plus approchées de 6, de s et de r.

LiapounôfF trouve ainsi, avec ses notations,

0,0709 <p <0,0710, 1 , i534o < s'< 1 , iô343,

Nous pouvons prendre les valeurs

On obtient, avec les notations de Poincaré,

ccj -+- a. 2 = 0,8466,

aj = 0,1142,

p2 — j ,0710, p2 — b 2 = 0,0946, ax a, = o,o836, a2 = 0,7324.

On a alors, pour les axes de l’ellipsoïde de bifurcation rapportés au grand axe,

•çC = 0,2075, ^ = 0,2970.

Le petit axe n’est que le quart du grand axe et l’axe moyen n’en est que les trois dixièmes.

Remarque. — L’expression différentielle (25 1 ) qui détermineR peut s’écrire, si l’on fait p2 — a,-, d’où R = o, les dérivées étant prises par rapport à p2,

D' (OCjr) t R"(a*)

D(«i) R’ (aî)

et l’on aura autant d’équations que de racines a dans R pour les déterminer, c’est-à-dire k. On voit facilement que l’expression cidessus peut s’écrire pour n pair, n = 2/r,

oci — a 2

a,j = <xk

où j prend toutes les valeurs de 1 à A-, sauf a,;.

Pour n impair, n — 2/c -h 1 , en mettant R sous la forme

et dérivant par rapport à p-, on obtient

En faisant alors p2 = d’où T = o, il vient

R' (aj) a j — c2 ‘ T' (a*)

et l’expression (266) peut s’écrire

On voit facilement que toutes les expressions calculées sont de cette forme.

Calcul de F ellipsoïde critique n — 5. — On a

R/i^ vY2 — c2(p2— aj)(p2— a2) = p(p2— aj)(p2— a2).

Les équations qui déterminent et a2 sont alors

ax — a 2 aj — 0 2 ax — c2 ax — a2

a2 — a- a2 — ô2 ' a2 — c2 * a2 — ax

où l’on fera c — o et a — 1 .

La dérivée de R par rapport à p2, où l’on fait p2= ai, donne

R'2(a/) — (a^ — c- ) T'2(ai) = (a,: — c2) (ax — a2)2.

On peut faire maintenant c = o, on a

R'2(ai) = ax ( ax — a2)2, R'2(a2) = a,(ax — a2)2.

(al a2)2 Lal(p2 al) (p2 a2> J