CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

On déduira de là H et IF, puis R/zS/t. En repassant aux notations de Liapounoff on retrouve les expressions données par M. P. Humbert. On en déduit les valeurs

Le grand axe est plus de six fois plus grand que les deux autres. L’ellipsoïde critique est très allongé.

Pour V ellipsoïde critique n — 6, on a

( 262 ) R n . = ( p2 — oci ) ( p2 ■ — a2 ) ( p2 a 3 ),

ai — a 2 ax — b- ai — c 1 ai — a2 aL — a3

et deux équations analogues pour a2 et a2. On a ensuite

p2— ai (ai — a2)2(ai— a3)2

p2— a2 (a2 — ai)2(a2— a3)2 p'2— a3 (a3 — a^2 (a3 — a2)2 ;

On forme H puis RS et l’on obtient

(266) aj = 0,080, a, = 0,423, a8 = 0,869.

Les valeurs des axes A et R sont presque les mêmes et l’ellipsoïde est très voisin d’un ellipsoïde de révolution allongé.

Remarque. — M. M. Orlow, dans un Mémoire présenté à l’Académie de l’Ukraine, donne des formules de calcul plus rapides en appliquant la méthode et les notations de Liapounoff. Il calcule les p2 pour les ellipsoïdes n — 5, 6 et 7, mais trouve des valeurs assez différentes de celles de M. P. Humbert : i,o443 pour n — 5 et 1 ,o3o5 pour n — 6, enfin 1 , 0224 pour n = 7. Il a déterminé en même temps, pour ces trois valeurs de n, la forme des ellipsoïdes

critiques et des figures de bifurcation. Elles sont données dans les figures 44, a, b, c, d.

84. Détermination de la forme des figures dérivées. — Les dimensions et les éléments des ellipsoïdes critiques étant déterminés, l’épaisseur de la couche de déformation infiniment petite sera donnée en chaque point par la formule générale

(267) r = e'ZM*N*=± e/R/cM*N*.

I et les fonctions de Lamé prennent les valeurs qu’elles ont sur l’ellipsoïde critique de coordonnées x, y, z . On a pour l

(268) îï = ï* +

P A4 B4 G4 (p 2— a*)? (p2 — ù2)2 (p*__ cs)s'

A, B, G étant les axes de l’ellipsoïde critique.

Pour la figure piriforme n — 3, on a

(269) Ç=elz( — - — - -4 ■— - + — — %— i).

Si l’on désigne par X, Y, Z les coordonnées d’un point de la figure de déformation, on peut écrire

£2 — (X — (Y — yp-^- (7a — .s)2,

Liapounoff écrit aussi, en introduisant les angles <9 et

| X == y 1 + Ç A cos 9 cos d»,

(271) < Y =VI + C B cos 9 sin&>,

[ Z = \] 1 -+- £ G sinç.

Considérons la section de la figure par le plan xz, où y — o, et tenons compte de l’équation de l’ellipsoïde pour éliminer x, on obtient

(272) T =I-(I-c?jc5=I“ ~U~ C=’

la seconde forme étant obtenue en remarquant que l’on a