ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Cette question de la stabilité des figures d?équilibre que nous venons de déterminer est loin d'être encore complètement éclaircie. Thomson et Tait, dans leur Natural Philosophy (t. I, 1879, 2e édition, Cambridge), ont fait de la question générale de l’équilibre une discussion intéressante qui servira de base à notre étude.

85. Cas des systèmes conservatifs. — Considérons un système matériel dont la position dépend de n coordonnées q q 2, . . ., qn. Nous supposons que le système est sollicité par des forces qui dépendent seulement de la position du système, ce que Tait et Thomson appellent des forces positionnelles , et que ces forces dérivent d'une fonction de forces U (q^, q 2, . . ., qn). On a alors ce qu'on appelle un système conservatif.

La demi-force vive T a pour expression, dans ce cas,

où les coefficients A/* dépendent des q. Les équations générales du mouvement ont été mises par Lagrange sous la forme classique

d /dT\ TT = clt Xdq'i) âqt dqt

Les positions d’équilibre s’obtiennent en égalant à zéro les dérivées partielles de U. Les équations d’équilibre sont précisément les équations qui expriment que la fonction U est maximum ou minimum. Ces conditions sont nécessaires pour le maximum ou le minimum, mais elles 11e sont pas suffisantes.