CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Si U est réellement maximum, dans une certaine position, c'est là une position d'équilibre stable, quelle que soit la nature de ce maximum, c’est-à-dire quelque soit l’ordre de la première dérivée paire, qui ne soit pas nulle. Ce théorème, énoncé déjà par Lagrange, a été démontré par Lejeune-Dirichlet et porte son nom.

D’après des recherches plus récentes, on peut compléter ce théorème en disant : Pour que l'équilibre soit stable , il faut et il suffit que U soit maximum. On démontre en effet que, si U n’est pas maximum, l’équilibre n’est pas stable.

86. Petits mouvements autour d’une position d’équilibre. — Nous supposerons, ce qui ne restreint en rien la généralité, que, dans la position d’équilibre étudiée, tous les paramètres q sont nuis et que la valeur D est également nulle, c’est-à-dire

Bornons-nous au cas où les dérivées premières de U s'annulent dans cette position d'équilibre sans que les dérivées secondes soient nulles. En développant la valeur de U, on obtient

U = ~ (an q} H- 2a12 qy q-i~\- 2a13 <71 <73-+- . . .) + Uj = ~ 'L<xikqiqk-\- U1?

U, contenant les termes en q de degré supérieur au second.

De même, en développant A en série, on obtiendra pour la valeur de T

A'/c — aik -K <7 i ^q~ + ) T = -'Lctikq'iq'k- t-Ti (&ik = const. ),

où T, contient des termes en q , q\ mais de degré supérieur au second.

En supposant l’équilibre stable, nous pouvons négliger U, etT<, dans les équations des petits mouvements, car alors les q et les q restent toujours très petits. Nous pouvons donc réduire U et T à leur premier terme et écrire

U = ^ S ccik qt qk: T = ^ 2 ctik q\ q’k

U et T sont alors des formes quadratiques à coefficients constants.

Pour éviter de trop longues écritures, nous effectuons sur les

variables q la substitution linéaire suivante :

— Cn pi -h Ci2 p 2 + •••-+- Cinp,l:

q 2 — C21 Pi -h C22 P 2 H- . . . C^jiPm

Çn — CfliPiH- C/i2p2-+-. . cnnpn ,

où les c sont de nouvelles constantes. Les gr' se trouvent également transformés par la même substitution linéaire en fonction des p .

Or, étant données deux formes quadratiques, on peut les ramener à une somme de carrés par une même substitution linéaire. Déterminons la substitution par cette condition, alors U et T prennent la forme suivante, où nous remettons q en place de p :

(2 3) T = \ ?? + q'i + q',?), U = i(ai27+a2^4-. ..+ a*?2).

Le système étant conservatif, on a

dT — dU, T — U = const.,

ce qui donne une intégrale du mouvement.

Pour avoir les équations des petits mouvements, nous n’avons qu’à écrire les équations de Lagrange correspondantes, qui sont

(4) q" = *iqi, 22 = a2?2, qn="*nqn-

Elles s’intégrent immédiatement Nous distinguons alors deux cas :

i° Tous les a sont négatifs. Alors tontes les équations n’ont, comme intégrale générale, que des sinus et des cosinus. Le système s’écarte très peu de sa position d’équilibre. Dans ce cas, l’équilibre est stable :

ql = A sin#! t -+- B cosctyt (0^= — af).

20 Quelques-uns des coefficients a sont positifs. Alors les paramètres et les vitesses correspondantes peuvent croître indéfiniment avec le temps. L’équilibre est instable. Par exemple, si l’on a«,> o, l’intégrale générale de la première équation sera

qv — hi el -t- X2 e~l ;

qK prend donc des valeurs de plus en plus grandes. Les équations