CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

mêmes ne s’appliquent plus, puisqu’on a supposé les paramètres q très petits.

On peut distinguer d’ailleurs divers degrés d’instabilité : le degré d’instabilité du système est le nombre des coefficients a qui sont positifs. Si un seul paramètre est positif, cette instabilité sera du premier degré. Si tous les coefficients sont négatifs, on peut dire que l’instabilité est de degré zéro, c’est-à-dire qu’il y a stabilité.

Considérons, par exemple, un point M mobile sur une surface. Si le point se trouve au fond d’une calotte concave vers le haut, il y aura équilibre stable. Si le point pesant se trouve au sommet d’un col, sur un point à double courbure, il y a un degré seulement d’instabilité. Le point peut osciller perpendiculairement à la ligne de plus grande pente avant d’être entraîné définitivement. Enfin, si le point est au sommet d’une calotte à convexité dirigée vers le haut, l’instabilité est du, second degré : il y a instabilité complète, car le mouvement est à deux paramètres. Tout déplacement du point détruira l’équilibre.

87. Cas des systèmes dissipatifs. — Considérons le même système que précédemment et dans la même position. Nous supposons qu’on lui applique les mêmes forces positionnelles, mais aussi qu’on ajoute de nouvelles forces, qui, cette fois, dépendent des vitesses et qu’on appellera, avec Tait et Thomson, des forces motionnelles.

Nous considérons plus particulièrement les forces qui donnent naissance à la viscosité des fluides. Nous supposons donc que sur chaque point de masse m, animé d’une vitesse c, agit une force F proportionnelle à la vitesse et dirigée en sens inverse : F = — ko.

Calculons d’abord les composantes de ces forces et leur travail. Soient mi la masse d’un point; x\ , y\ , z\ les composantes de sa vitesse :

. dxt , dyi

La force de viscosité aura donc par définition, pour composantes, Xi = — k i x\, Y i — — kty,

ki étant un coefficient positif.

Z i = — kiz\,

Le travail élémentaire de ces forces, dans le déplacement réel, sera

= 2(Xj dxi- 1- Yj dyt- f- Zt dz{) = — J- 2 kt{dxi -b dyj -+- dzf ).

De même le travail élémentaire, dans un déplacement virtuel compatible avec les liaisons sera

*&' — S(X2- 8^/+ Yj 8yi -h Zi ôzî) = — -^2 kt{dxj àxi -b dyt Byt -+- dzt ozi ).

Calculons ces expressions en fonction des paramètres, on a

Xi=fi(qu q-2, qn), yt= <?i(q 1, q 2, • qn), zt= q î>—, qn );

d’où

et

dxi = ^~-dal agi

àXi

àql

dq2-

àxi

àqn

dg,i

§Xi :

àxi

àq 1

àxi

àq%

àx i

7— oqn.

àqn

Calculons on aura une forme quadratique analogue à celle d’une force vive où les masses seraient remplacées par les coefficients k[. On aura donc

^=—^2 B ikdqidqk (B^=B*i>.

Pour calculer fé', introduisons une notation plus commode, et pour cela considérons la forme quadratique

f(q\, q.2. q'n) = i S Bik q\q’k = ~ (Bu g’? -b 2B12 q\ ÿ2 )j

est une forme bilinéaire en dq ,, dq 2, ..., dqn et àq{) dq2, àqk- C’est ce qu’on appelle la forme polaire de la

forme On peut alors l’écrire immédiatement

®' = — — ZBt/cdqt hqk.

Elle se réduit à la forme % quand le déplacement virtuel est identique au déplacement réel.