CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE. 23q

Écrivons fê' sous la formé suivante et développons :

\ — SB aq'ioq/c

= — §q\ (Bu q | -h Bj2 q.2 -h. . .H- Bjk qn)

\ — oq, (B21 q\ -b B-22 0'2 -K B2/l qn)

— S^n(Brtl q\ + B„2^'2H-. . .-h B nnq'n),

Introduisons maintenant la forme quadratique f définie cidessus. Le travail virtuel pourra alors s’écrire

àf * àf .

és?,+4°îs

àf -

àq'n

88. Équations des petits mouvements dans le cas d’un système dissipatif. — Les forces appliquées sont de deux sortes : celles qui dérivent de la fonction de forces U et celles qui proviennent de la viscosité. La somme des travaux virtuels de ces forces se composera donc de deux parties :

àU . àU ,

àf * àf ,

— jf- oq i —

àq i

oq 2

àU

àqn

àq’n

àqn,

Le coefficient de àq{ sera donc

o = AA AL.

1 àq i àq\

Les équations de Lagrange deviennent alors

d /dT\ àT = __àf'

dt \àq't) àqt ~ àqt àq\

Nous faisons toujours ici la même approximation que dans le cas précédent, en négligeant les termes du second ordre et en prenant seulement les valeurs principales des paramètres et des vitesses, de sorte que U et T conservent les mêmes formes quadratiques (3). Nous simplifions de même f en développant ses coefficients dans le voisinage de la position d’équilibre

t> / . dBjÆ

B;* — bik 4- q\ -T — ■ H- ... j àq i

d’où

f= - ^bikq'iqf

en réduisant B,-* à la constante 6/*. Il faut remarquer que T est essentiellement positif. Il en est de même de /.

Les équations du mouvement deviennent alors, avec ces hypothèses,

q'\ = «i?i— (611 -h 6J2gr'2 + . . .Hqi— a2<?2 (^21^1 + ^2l9r2-f-' • *“t~ /i)

ou, en général,

où y est la forme quadratique essentiellement positive

2f—bliq'?-h‘2bng']q’.2-+-...= Zlbikq’iq’k {bik= bki).

Le premier terme du second membre des équations du mouvement (7) comprend les forces positionnelles ou conservatives fonctions des qL. Le second comprend les forces motionnelles ou forces dissipatives de viscosité, fonctions des q'r

Nous avions fait une hypothèse particulière sur la nature de ces forces dissipatives, en les attribuant à la viscosité. Nous appellerons plus généralement forces dissipatives celles qui conduisent à des équations du mouvement de cette forme, quelle que soit la nature de ces forces. On dira alors qu’on a un système dissipatif. Ce sera le cas des systèmes où il y a des résistances passives.

Remarque. — Un tel système est appelé dissipatif pour la raison suivante. Multiplions les équations (7) du mouvement successivement par q\ , . . . , q'n , et ajoutons-les ; il vient

dT dü dt dt ^

dt J

Or, f étant essentiellement positif, il s’ensuit que l’énergie totale T — U va en diminuant. L’énergie se dissipe à partir de sa valeur initiale.

89. Dissipativité complète et incomplète. — Pour que l’énergie se dissipe dans tous les mouvements possibles, il faut que les forces dissipatives soient complètes, c’est-à-dire que /dépende explicitement de tous les q1.

Supposons, par exemple, que /ne dépende pas de q\ . Cela veut