CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

dire que

Alors la première équation du mouvement est indépendante de f et de la dissipativité, et q\ n’entre plus dans les autres équations.

Gomme les paramètres q sont indépendants et que le système se trouve dans une position d’équilibre, on peut faire subir au système un déplacement qui porte seulement sur le paramètre q{. Les paramètres q2 , </3, . .., qn conservent leurs valeurs d’équilibre, c’est-à-dire milles, d’après les hypothèses faites. Nous donnons à^, une valeur assez petite dans le voisinage de la position d’équilibre et compatible avec les données du problème. Le mouvement qui en résultera aura pour équations

Ce mouvement ne dépend plus de /, qui est nul, puisque cette fonction est indépendante de q\ et que tous les autres q\ sont nuis. L’énergie totale reste donc constante dans ce cas.

Ainsi, dans le cas de forces dissipatives incomplètes parmi tous les mouvements possibles autour de la position d’équilibre, il y a des mouvements dans lesquels l’énergie est conservée.

Nous allons résoudre les équations du mouvement dans le cas de la dissipativité complète.

Dans ce cas, T — U va en diminuant dans tous les mouvements possibles du système. Il s’agit d’intégrer un système d’équations linéaires simultanées. On pose donc

q\z=\xert, q2=\.2ert, ..., qn=\nert,

et l’on porte ces expressions dans les équations du mouvement. Il vient, en divisant par ert :

— )— r~ — aj) -h X2 — 1— X3 613 /" — 1 — ... — I — b\ jtr ==o,

Xi 62ir H- X 2(62 2^'+“ r2 — a2)H- X3 693 r-+-...-h X/4 62«r = 0,

Xi 6nl7’ -+-X26rt2r +X36n3r-l-...-f-X,t(6rtrar+7’2— a„) = o.

Pour que ce système de n équations en X ait des solutions non nulles, il faut que le déterminant soit nul. C’est l’équation caractéristique du système des équations linéaires. Nous la désignerons

APPELL. — XV

par F(r) :

*/i3 r .... bnnr-hr*-—y.n

Si l’on peut trouver une racine de cette équation, le$ n équations en \ se réduiront à n — i équations d’où l’on pourra tirer des valeurs proportionnelles à A, , X2. . . . , ln. En désignant par fA (r), /2(.r), . . ., fn(r) les mineurs de F(r), en supposant la dernière ligne éliminée par exemple, il vient, pour chaque valeur de r racine de F(r) = o,

où p est une constante arbitraire.

Si r = /’, est une racine de F(/*) = o, et si p, est la valeur arbitraire de la constante, on déduit de ces équations d’abord la valeur

Hi/iOi), V=Ki/ï(W), * * * 5 *nr= V-ifnin),

puis la solution particulière du système

q i = Hi/iC^i) ?2 = ^i/2(n) . . • , q,i = pi/n(ri)ÿ^.

Avec la racine r2 et une constante arbitraire correspondante p2, on obtiendrait de même une seconde solution particulière, et ainsi de suite.

Avec les n solutions correspondant à n racines de l’équation caractéristique, on formera l’intégrale générale par addition des n intégrales particulières obtenues. On aura

q i = pi/i.(ri)eri<4- H1 2 /i .( ^*2 ) er^ H— . . .+ \>-nfi(rn)ernt, q 2 — e^-h [J. 2/2 (>2) + . . .4- pn/a (rn) er"*,

?/i= ^\fn{rx) er^-h fx2/n(r2) e?V-b. . .-h \*-nfn(rn) ernt.

A(r) AXr) Jn\')

des >. :

Telles sont les équations du mouvement dans le voisinage de la position d’équilibre.