CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

90. Stabilité de l’équilibre dans le cas de forces dissipatives. Théorème de Tait et Thomson. — Pour que l’équilibre soit stable, il faut que les racines de l’équation caractéristique F (r)== o aient toutes leurs parties réelles, négatives ou nulles.

Soit, par exemple, une racine r = p -K iq. La condition nécessaire et suffisante pour que l’équilibre soit stable est p^o. Car si l’on avait p positif, le terme

ert — (cos qt -t- i sin qt)

augmenterait indéfiniment avec t. La valeur des qt et des q'l augmenterait de même sans limite et le système s’éloignerait de sa position d’équilibre. Donc, aucune racine ne doit avoir de partie réelle positive. Une partie réelle nulle introduira seulement des sinus et cosinus. Il y aura oscillation autour de la position d’équilibre. Une racine avec partie négative introduira un terme qui tend vers zéro avec le temps. Il y aura oscillations amorties autour delà position d’équilibre, où le système reviendra finalement au repos.

Tait et Thomson ont démontré un théorème très important, d’après lequel l’adjonction de forces dissipatives à un système conservatif ne change pas la nature de l’équilibre de ce système.

Soit un système soumis à des forces positionnelles conservatives, dérivant d’une fonction U. Le mouvement autour d’une position d’équilibre est défini par les équations

q\ = <*i q\ , q\ = q%, • • • , qh = q «•

L’adjonction de forces dissipatives transforme, par définition, ces équations dans les suivantes :

(9) q\ — ai qi~

àq i

àf àq'i ’

qn = <*nqn-

'JL,

àq'n

Le théorème établit que, si l’équilibre est stable sous la seule action des forces conservatives, il restera stable après l’addition des forces dissipatives. S’il est instable dans la première hypothèse, il sera encore instable après l’adjonction des forces dissipatives. Évidemment le mouvement sera modifié, mais nullement la nature même de l’équilibre.

La démonstration repose sur la relation fondamentale (8), c’est-à-

dire surcequeles forces dissipatives introduisent une perte d’énergie

a?(T — U) dt

Premier point. — Soit F (r) = o l’équation caractéristique du système complet. Je dis que cette équation ne peut pas avoir deux racines purement imaginaires.

Supposons, en effet, que nous ayons deux de ces racines qui doivent être conjuguées, puisque les coefficients de F sont réels. Soient

/*! == im et r2 = - — im.

Ecrivons les solutions particulières correspondantes du système différentiel, on a

qx = Pi/i (rt) p,/i (r,)

q 2 = R/* (ri) p2/2(r2)

p2/n(rs)

Ce mouvement est un des mouvements possibles du système, par hypothèse, et nous pouvons «écrire les équations du mouvement, en faisant nuis les autres p arbitraires :

qx — /ix cos mi -I- Ai sin mi,

^2 = cos mi -h A2 sin mi,

qn = cos mi -+- sin/rci.

Dans ce cas, T prendra la forme

(io) T = A + B cos 2 mi h- G sin 2 mi ;

mais comme, d’autre part, T est une somme de carrés, T doit être positif pendant toute la durée du mouvement, d’où la condition

D’autre part, U est également une forme [quadratique, qui dans le mouvement s’écrit sous une forme analogue

U = A'— h B' cos 2 mi -+- G' sin 2 mi ;