CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

mais ici le signe de U n’est pas déterminé d’avance, car nous ne savons rien sur les a.

Enfin, / est une forme quadratique des q' , qui eux-mêmes sont de la même forme que les paramètres q, d’après leur expression ci-dessus. On aura donc

f = A" h- B" cos 2 mt G" sin 2 mt ;

mais, / étant essentiellement positive, on a encore ici la condition

(12) A">-+- yjri-hC'*.

Ecrivons maintenant l’équation (8) qui relie T, U et y* au moyen de ces relations. Les dérivées de U et de T par rapport au temps ne contiendront plus les constantes A et A'. Il vient donc

— (B — B') 2 m sniimt -+- (G — C')2m cos 2 mt = — 2 A" — 2 B" cos 2 mt — 2 G" sin 2 mt.

Cette équation entraîne A"—ç>, ce qui exige également B"= o et C"=:o d’après (12). La fonction / devrait donc être identiquement nulle dans ce cas, ce qui est impossible, car nous admettons que pour tout mouvement possible la fonction dissipative est différente de zéro (dissipativité complète).

Ainsi, quelle que soit la nature de l’équilibre avant l’addition des forces dissipatives, l’équation caractéristique relative au système complet a toutes ses racines de la forms p -h iq, où p ÿé. o.

Deuxième point. — Ceci établi, supposons que l’équilibre soit stable sous l’action des seules forces positionnelles. On a alors

ai < o, a2<o, .... an < o,

avec

q 1 = 0, q%=o: ..., qn— O.

Puisque l’équilibre est stable en cette position, U est maximum sans les forces dissipatives. Nous allons démontrer que l’équilibre sera encore stable après l’adjonction de ces forces. Pour cela, nous allons montrer que l’équation caractéristique ne peut pas avoir de racine ayant une partie réelle positive.

Supposons, en effet, qu’une des racines ait une partie réelle positive, alors les paramètres q \ , q2, . . . , qn augmentent indéfini-

ment avec le temps. Le système étant en équilibre, dérangeons-le très peu de cette position et imprimons-lui de petites vitesses. Appelons T0 et U0 les valeurs initiales de T et U, on a

f/(VU)<°’ donC T-U<T„-U0;

mais, comme les paramètres q augmentent indéfiniment, — U qui est essentiellement positif, à cause du signe négatif des a, augmente indéfiniment. Les vitesses q\ augmentent aussi indéfiniment, donc T augmente sans limite.

Ainsi T — U doit décroître autour de la position d’équilibre et rester inférieur à T0 — U0, alors que dans l’hypothèse faite il augmenterait indéfiniment. Il ne peut donc pas y avoir de racines à partie réelle positive, et, si l’équilibre est stable avant l’adjonction des forces dissipatives, il le restera après.

Si l'équilibre est instable sous l’action des seules forces positionnelles, alors quelque a est positif, par exemple oc] >> o. Ajoutons les forces dissipatives. L’équilibre restera instable. Il suffit de montrer que dans ce cas-là i ou tes les racines de F ne peuvent pas avoir leurs parties réelles négatives.

En effet, dérangeons le système de sa position d’équilibre de la façon suivante : a, étant positif, donnons aux paramètres de petites valeurs de façon que U0 soit positif, en prenant par exemple

?i>o, q 0 = 0, qn= O,

puis abandonnons le système ainsi déplacé sans vitesse initiale, c’est-à-dire T0 = o. Dans le mouvement subséquent, on aura

d{ T — U) < o, donc T — U < — U0.

Or nous avons supposé que toutes les parties réelles des racines de F sont négatives. Donc quand t augmente, T et U tendent ensemble vers o, parce que les paramètres q et leurs dérivées tendent vers o. A partir d’un certain moment, T — U serait aussi voisin de o qu’on voudrait et ne pourrait pas rester inférieur à une quantité négative — U0. Il faut donc que certaines racines r aient leur partie réelle positive; alors l’équilibre reste instable après l’adjonction des forces dissipatives.

Nous avons supposé les forces dissipatives totales. Le résultat