CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE
serait encore vrai avec des forces dissipatives partielles. En effet, considérons un système où l’une des équations serait sans dissipativité :
„ „ ôf „ df
qi = «iqi, 92==a,?2— q/t = ocn qn— ^ •
La première équation donne un équilibre stable ou instable quand varie. Le système des autres équations se traiterait comme précédemment. On verrait que l’adjonction de la fonction f ne change rien à la nature de l’équilibre. Le théorème est donc général.
91. Forces motionnelles gyroscopiques. — Au système des forces conservatives et dissipatives, ajoutons d’autres forces distinctes des premières Q,,, Q2, . . . , Qn. Les équations de Lagrange correspondant à ce système s’écriront
dt \dq\J dqi dqt ôq\ ' l'
On dit que les forces Q,, Q2, . . . , Q„ sont gyroscopiques, si elles vérifient la condition
04) Q 1 q\ HE? Q2 q'i • *4- Q« q'ûf= °.
Gela revient à dire que le travail de ces forces est nul dans le déplacement réel du système, car le fait que ce travail est nul serait exprimé par la formule identique à la précédente :
Qi dq i-h Q2 dq 2 + . . .4- Q«. dqn = o.
Telle est l’interprétation mécanique des forces gyroscopiques.
Voici l’origine de cette dénomination. Quand on étudie le déplacement relatif d’un point par rapport à des axes mobiles, il faut ajouter aux forces réelles certaines forces fictives, pour obtenir les équations du mouvement ou de l’équilibre, par rapport à ces axes mobiles. Ces forces fictives sont la force centrifuge et la force centrifuge composée. On sait que cette dernière force est perpendiculaire à la vitesse relative, de sorte que son travail dans le déplacement relatif est toujours nul. Or ce sont précisément ces forces centrifuges composées qui interviennent dans l’étude des
mouvements gyroscopiques. Ce sont elles en particulier qui assurent l'équilibre du mouvement de la toupie, tournant à grande vitesse sur sa pointe.
Tait et Thomson ont étendu le nom de forces gyroscopiques à toutes les forces qui jouissent de la même propriété mécanique du travail nul (i4) et ils démontrent qu’elles jouissent toutes de la propriété d’assurer l’équilibre en certains cas. 11 est à remarquer que, dans des cas très étendus, les équations du mouvement d’un système non holonome, sous l’action de forces données analytiquement, peuvent être ramenées à celles d’un système holonome sous l’action des mêmes forces auxquelles on ajouterait des forces gyroscopiques convenables (1).
Nous allons supposer une position d’équilibre d’un système soumis à diverses forces, en particulier à des forces gj roscopiques, et nous étudierons les petits mouvements du système autour de cette position d’équilibre.
Remarquons d’abord que les forces gyroscopiques Q,, Q2, . . ., Q„ contiennent dans leurs expressions les q' , autrement l’expression qui les définit (i4) ne pourrait pas être nulle identiquement, car les q ne pourraient jamais se rédùire et se détruire.
Réduisons alors ces expressions Q à leurs parties linéaires en q' , simplification analogue à celle que nous avons faite pour les autres forces et qui est légitime tant que l’on s’écarte peu de la position d’équilibre où les q et q sont nuis. Les équations de Lagrange se réduisent alors, dans ces hypothèses, aux expressions
df r
— H" gz\ q | + £'22 ?2 + • •
9n = *nÇn
df
• • + g tin Çn
D’ailleurs, les g ne sont pas quelconques. En effet, l’équation
(*) Appell, Remarques d'ordre analytique sur une nouvelle forme des équations de la dynamique ( Journal de Liouville, 5° série, t. VII, 1901. p, 5-i2).
