CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE
de condition (i4) peut s’écrire en développant
gn q? H- gi -2 q\ + q\ q’n
H- S 2l q’i q\ + gn q'? -H » • • •+" gin </'2 q'n
■+• g ni q'n q \ ■+• g ni q'n • ■'H- g’«/i q'iï — °-
Ce qui exige , = £22 = #33 = • . . = gnn~ o ou en général gkk—o , et^12 — — £-21 ou en général £-,7fc-t-#fc*= o. Cette dernière condition entraîne la première, de sorte que la condition générale des forces gyrosco piques (i4) peut s’écrire aussi
(i5) ^gikqjq'k- 0 où. g ik+ g ki = 0.
92. Théorème de Tait et Thomson sur l’équilibre dans le cas des forces gyroscopiques. — INous distinguerons deux cas.
Premier cas. — Supposons un système soumis à la fois aux trois sortes de forces ainsi définies : conservatives, dissipatives et gyroscopiques. L' état d'équilibre existant sous l'action des forces conservatives seules ne sera pas changé si l'on ajoute à la fois des forces dissipatives et des forces gyroscopiques. Réciproquement, si l' équilibre est stable sous l'action des trois sortes de forces , il le restera si l'on supprime les forces dissipatives et gyroscopiques ; s'il est iîistable , il le restera également.
Pour le voir, il suffit de reproduire exactement le raisonnement fait plus haut pour les forces dissipatives seules. En effet, ce raisonnement repose entièrement sur la relation
~di — =-2/<°-
Or cette relation a lieu encore ici, car en ajoutant les équations du mouvement (i3) les unes aux autres, après les avoir multipliées respectivement par les q ' correspondants, comme on l’a fait au n° 88, les termes correspondant aux forces gyroscopiques donnent précisément une somme nulle. Ces forces sont donc éliminées et l’on retrouve identiquement l’expression ci-dessus qui ne dépend que de f et des forces dissipatives.
Par conséquent, T — U décroît constamment dans le mouve-
l5o FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
ment, et, la dissipativité étant complète, la nature de l’équilibre n’est pas changée.
11 faut bien remarquer dans ce cas que les deux groupes de forces motionnelles entrent à côté des forces positionnelles.
Second cas. — Considérons maintenant un système soumis à des forces conservatives et supposons qu’on introduise seulement des forces gyroscopiques. Il peut se faire alors cjue V introduction des forces gyroscopiques seules transforme l’équilibre instable en équilibre stable.
Les équations du mouvement sont alors, en faisant gkk — o,
i° Si le système soumis aux seules forces dérivant de U est stable, V adjonction des forces gyroscopiques laisse subsiste /' la stabilité. En effet, on a T — U = const., et U est maximum dans la position d’équilibre. Il n’y a qu’à appliquer de nouveau le raisonnement du théorème de Lejeune-Dirichlet. On retrouvera la même conclusion. L’équilibre reste stable.
2° Si l’équilibre sous l’action des forces conservatives est instable, il peut devenir stable. Déterminons, en effet, l’équation caractéristique du système d’équations linéaires. Il faut égaler à ole déterminant des équations en À :
q\ = Xi qx gn q[2 + gl3 q'3-h. . gin q'nr
qh = a» cJn H- g ni q i gn 2 ?'2 + • • ■ + gn,n- 1 fn
Xj(>2— aD-h l,gXir + ...-+- Xnguir = o,
. X-i gzi r X2(r2 — 2c>) H- • • . 4- X/t g.în r — o,
X| gnir 4-^sgnsr
c’est-à-dire
r2— aL gV2r glz r ... glnr
g ni r gnir gnZ r ... r2— an
L’équilibre final, sous l’action des deux groupes de forces, sera instable si l’une quelconque des racines a sa partie réelle positive;
