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X, Y, Z étant les projections de la résultante sur les trois axes.

V est une fonction essentiellement positive qui devient nulle à l’infini. Elle est uniforme et finie partout, sauf aux points attirants. On peut d’ailleurs prendre p = 1 et/= 1 en changeant l’unité de temps; alors

l6 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Enfin cette fonction V vérifie l’équation AV = oen dehors des masses attirantes.

2° Masses continues. — Nous nous occuperons d’abord des volumes et, plus loin, des surfaces et des lignes attirantes, et nous les supposerons finis et limités.

La densité p est une fonction des coordonnées a, 6, c d’un élément dm du volume. Elle peut être discontinue, et d’ailleurs la

Fig. 4.

P /xi/ Z.)

surface qui limite le corps sera toujours une surface de discontinuité pour la densité (fig. 4)- Le potentiel devient ici

(6') V=2jy , r = \j{x — a)*+(jr — b)*-{-(z — c)*,

dm = p dr == p da db de étant la masse de l’élément de volume. L’intégration est faite par rapport à a, b , c, et le résultat V est une fonction de a?, y, z.

Les composantes suivant les axes de l’attraction sur P (a?, y , z ) seront

àV àV àXt dx ’ dy ’ àz

6. Étude de la fonction V ou potentiel. — i° V est fini et continu dans tout l’espace, extérieur ou intérieur aux masses attirantes. A l’infini, V devient nul.

Soit, en effet, O un point du corps attirant; supposons le point attiré P situé très loin du corps attirant et par conséquent de O. Appelons R la distance OP et développons V suivant les puissances croissantes de on a