ATTRACTION ET POTENTIEL

Les coefficients A,, A2, ... dépendent de la direction dans laquelle

P s’éloigne indéfiniment. Alors V tend vers zéro comme ^ quand R augmente indéfiniment, c’est-à-dire lim VR = M.

Si le point O est au centre de gravité G, alors Ai = o, et

VR — M est, pour R très grand, de l’ordre de

2° Les dérivées premières sont finies et continues dans

r ôx

tout l’espace. A l’infini elles sont nulles, de l’ordre de — •

3° Les dérivées secondes et en particulier

sont

dx 2 ’• dy% 9 dz% 1

partout finies; mais elles sont discontinues. Chaque fois que P passe par une surface de discontinuité Si de la densité p, les dérivées secondes subissent également une discontinuité ( fig . 5). Il

Fig. 5.

en est ainsi en particulier quand P traverse la surface S du corps attirant. On a, en effet, à l’intérieur

(9) AV = — 4*p,

p étant la densité au point æ, y, z, et à l’extérieur AV m o.

Si donc p est discontinue, l’une au moins des dérivées secondes l’est aussi.

Ces propriétés sont fondamentales et caractéristiques. Si une fonction les possède, c’est un potentiel.

7. Théorème de Gauss. — Soient une masse attirante de potentiel V, et S une surface fermée quelconque; cherchons l’intégrale du second membre de la formule de Green, écrite sous

APPELt, — IV.

l8 FIGURES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

la forme (4)

U AV d-

dU dV àx àx

dU dW ày ày

àV à\ dz dz

Faisons U = i et appliquons-la au volume T limité par la sur-

Fig. 6.

face S ( fig. 6) ; on ;

f AV do = f g- do, JT J* dn

et puisque dans tout l’espace AV == — on a

M' étant la quantité de masse attirante contenue à l’intérieur de S.

De ce résultat, on peut déduire que le potentiel ne peut avoir, en dehors des masses attirantes , ni maximum ni minimum.

En un point P0 par exemple, extérieur à M, il ne peut pas y avoir de minimum. En effet, s’il y avait minimum, le potentiel augmenterait quand on s’éloignerait de P0 dans une direction quelconque. Entourons P0 d’une petite sphère ayant son centre en P0 et appliquons à cette sphère, de rayon assez petit pour qu’elle ne contienne pas de masses attirantes, le théorème de Gauss; on a

ds = o,

rfV dV dn dr 1

r étant la distance du point M de la petite sphère à P0. On peut prendre r assez petit pour qu’en tous les points de la sphère

^ soit positif, si le potentiel augmente par hypothèse à partir