CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE. ‘>.5l
il sera stable si toutes les racines ont leur partie réelle négative. Ici, il s’introduit une condition nécessaire et d’ailleurs inattendue : V instabilité initiale doit être de degré pair.
Soit F(r) l’équation caractéristique. Le terme de degré le plus élevé est r-n qui est positif. On a donc F(oo)>>o. D’autre part, on a, en faisant r = o,
S’il y a un nombre impair d’a positifs, alors F(o) sera négatif. Il y aura donc au moins une racine comprise entre o et oo, et l’équilibre sera instable. L’instabilité initiale sera conservée.
S’il y a un nombre pair d ’a positifs, alors F (o) sera aussi positif et l’on ne pourra rien dire en général; car F(r) peut avoir dans ce cas o ou un nombre pair de racines positives. Si F(r) n’a pas de racines positives , V instabilité est transformée en stabilité. Si F a des racines positives, l’instabilité demeure.
La discussion de tous les cas possibles serait longue, mais on peut montrer sur des exemples qu’efïectivement dans certains cas, l’adjonction des forces gyroscopiques transforme l’instabilité en stabilité.
Exemple. — Considérons les petits mouvements d’un point définis par les équations
x"= ax -{ - g y\ y" = $y — gx'.
Si l’on a a «< o et {3 < o, il y a stabilité, avec ou sans les forces gyroscopiques. Si l’on a a > o et (3 < o, il y a instabilité dans lés mêmes conditions.
Si enfin l’on aa>oet|3>o, il y a instabilité avant l’adjonction des forces gyroscopiques. Que se passe-t-il après leur adjonction?
Posons
x == a ert, y — \j. ert ;
d’où
X(r2— a) — \t.gr === o,
lgr-h P) = o
Gt
F(r) = (/’2— y.) ( r~ P)4-^2/’2 = r*- H — a — p) -f- ap = o.
Si g est nul, c’est-à-dire s’il n’y a pas de forces gyroscopiques, le système est instable comme nous l’avons vu. Mais g est arbitraire ; on peut le prendre assez grand pour que l’on ait
(g-— a — (3)2— 4 > o et g*-— a— [4 > o.
Alors l’équation ci-dessus du second degré en r2 a deux racines réelles négatives qui donnent pour r des valeurs purement imaginaires :
r = ± ih, r = zh ik.
Avec ces valeurs de r, les paramètres x et y ne contiendront que des sinus et des cosinus. Le mouvement primitivement instable sera devenu stable par l’adjonction des forces gyroscopiques.
Si le système est à dissipativitê partielle , les mêmes conclusions sont encore vraies. Si le système primitif est stable, le système final sera stable également. Si le système primitif est instable de degré impair, il restera instable. S’il est instable de degré pair, il pourra devenir stable dans certains cas.
Supposons, par exemple, que les équations du mouvement soient de la forme suivante :
q'\ = at qv^.gq\,
ql = a2 q% — gq i>
df
* Ôf , ^
q n qn — +■ Qn-
Les deux premières équations ne contiennent pas de dissipativit é f, et de plus un certain nombre de gik—~ — gu sont nuis. Si et en 2 sont positifs et tous les auttes ch négatifs, le système initial est instable ainsi que le système obtenu par l’adjonction des seules forces dissipatives. Mais, par contre, l’adjonction des forces gyroscopiques peut le rendre stable. Il suffit que g soit suffisamment grand pour stabiliser les deux premiers paramètres, comme on l’a vu ci-dessus.
C’est ce qui a lieu dans l’étude de l’équilibre relatif, par rapport à des axes entraînés, de ce qu’on appelle la toupie dormante . La
