CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

toupie posée sur sa pointe* tomberait si des forces gyroscopiques suffisamment grandes n’existaient pas. Elle resterait toujours en équilibre s’il n’y avait pas le frottement et la résistance de l’air, forces dissipatives, qui maintiennent et ramènent l’instabilité. Car, il faut le remarquer, l’adjonction des forces dissipatives conserve toujours la nature de l’équilibre primitif, ou le ramène quand l’adjonction des forces gyroscopiques a changé l’instabilité en stabilité.

93. Stabilité temporaire et stabilité séculaire. — En résumé, un système en équilibre dans lequel les forces dérivent d’une fonction de forces U doit vérifier les conditions

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qui impliquent que U est maximum ou minimum. La stabilité de cet équilibre implique, en outre, d’autres conditions.

iu Si le système est soumis aux seules forces dérivant de U, il faut et il suffit que U soit maximum pour que l’équilibre soit stable.

20 Si l’on fait agir, en plus des forces précédentes, des forces dissipatives quelconques, il faut et il suffit encore pour la stabilité que U soit maximum. En d’autres termes, les forces dissipatives ne modifient pas la nature de l'équilibre .

3° Si le système est soumis aux forces dérivant de U et à des forces gyroscopiques, il suffit encore que U soit maximum. Mais cela n'est plus nécessaire. L’équilibre peut être stable sans que U soit maximum, la stabilité étant introduite par les forces gyroscopiques.

4° Si le système est soumis à la fois à des forces conservatives, à des forces dissipatives complètes et à des forces gyroscopiques, il faut et il suffit encore que U soit maximum. La nature de l’équilibre est la même que lorsqu’il n’y a que des forces conservatives.

5° Si le système est soumis à la fois à des forces conservatives, à des forces gyroscopiques et à des forces dissipatives , mais incomplètes , il suffit que U soit maximum; mais ce n’est pas

nécessaire, car il peut se faire que les forces gyroscopiques rétablissent la stabilité des paramètres sur lesquels ne porte pas la dissipativité.

Il n’y a donc, en fin de compte, quë deux hypothèses possibles , et lord Kelvin, qui avait déjà fait cette distinction, appelait stabilité séculaire celle qui a liçu quand on tient compte des forces dissipatives complètes. C’est la même stabilité que si le système était simplement conservatif : il faut et il suffit que U soit maximum. Il appelait stabilité temporaire celle qui existe sans les forces dissipatives ou peut-être avec des forces dissipatives incomplètes. Il suffit, pour que cette stabilité existe, que U soit maximum, mais cela n’est plus nécessaire.

Supposons ce dernier cas réalisé. Il ne peut l’être qu’à titre d’hypothèse, comme en mécanique rationnelle. Dans la nature, en effet, il y a toujours des frottements, c’est-à-dire des forces dissipatives. De sorte que, si l’on se trouve dans le cas de U non maximum et de l’équilibre réalisé par le moyen des forces gyroscopiques, cet équilibre sera détruit lentement et ne pourra être que temporaire. Les forces dissipatives qu’on a pu négliger pendant un certain temps, ou en première approximation, agissent tout de même et, à la longue, finissent par écarter le système de sa position d’équilibre.

L’exemple type est celui de la toupie dormante. L’observateur supposé entraîné avec des axes invariablement liés à la toupie, l’axe des z se confondant avec l’axe de rotation, observe qu’il y a équilibre au début du mouvement. Or, ici, les forces dérivent d’un potentiel U = — gz , et U se trouve être alors minimum, puisque le centre de gravité est le plus haut possible, et z a sa plus grande valeur. Malgré cela, grâce aux forces gyroscopiques, l’équilibre relatif existe et il est stable. Si l’on écarte un peu la toupie, elle oscille autour de sa position d’équilibre.

Mais cette stabilité n’est pas séculaire. En mécanique rationnelle, on a pu négliger le frottement du pivot, la résistance de l’air. Mais en réalité, au bout d’un certain temps, la toupie s’écarte, lentement d’abord, puis plus rapidement, de sa position d’équilibre. La vitesse de rotation diminuant, elle s’incline «et tombe.