CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

94. Application des théorèmes à l’équilibre d’une masse fluide en rotation. — Il se présente tout d’abord une difficulté dans cette application. En effet, les théories et les équations ci-dessus supposent que les systèmes dépendent d’un nombre fini de paramètres. Au point de vue physique, un liquide composé de molécules dépend aussi d’un nombre très grand, mais fini, de paramètres. Au point de vue mathématique et de la continuité, il n’en est plus ainsi. Une masse continue dépend d’un nombre infini de paramètres, d’une infinité dénombrable cependant. Par généralisation, on peut admettre avec Poincaré et lord Kelvin que les conclusions sont applicables à la limite aux masses supposées continues.

Considérons donc notre fluide en rotation. Prenons comme axe des z l’axe de rotation avec O x^yy comme axes fixes et O xy comme axes entraînés dans la rotation et liés au corps. Par hypothèse, la masse fluide est en équilibre relatif par rapport aux axes entraînés.

Dans l’équilibre relatif, les forces dont il faut tenir compte sont :

i° Les forces d’attraction mutuelles de la forme — nil™k et dont

rti

le travail dans un déplacement virtuel est

irtiink |

rik J

: ÔW ;

W est, à un facteur constant près, ce que nous avons appelé Y énergie du. système. On voit que les forces d’attraction mutuelle dérivent d’une fonction de forces W.

2° La force centrifuge, en second lieu, a pour projections en un point

m coI 2J7, mio^y, o.

Elle dérive d’une fonction de forces qui, pour le système entier, s’écrit :

I désignant le moment d’inertie de la masse fluide par rapport à O z.

En définitive, pour l’équilibre, les forces dérivent d’une fonction

256 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’üNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

de forces qui est

(18) U=W+-Iw2.

Pour obtenir une position d’équilibre, il faut que les dérivées partielles soient nulles, ou que la variation de,U soit nulle,

SU = o.

Pour savoir si cet équilibre est stable, écartons très peu les molécules de leur position d’équilibre et étudions le mouvement relatif autour de Oz, en communiquant à ces molécules de très petites vitesses.

Mais le fait de communiquer aux particules du fluide un mouvement par rapport au système d’axes entraînés par la rotation introduit de nouvelles forces dont il faut tenir compte. Ce sont les forces centrifuges composées et les forces de viscosité ou de résistance de milieu.

Dans les petits mouvements autour de la position d’équilibre, il faudra donc tenir compte : i° des forces conservatives qui dérivent de U; 2° des forces gyroscopiques qui sont ici les forces centrifuges composées; 3° des forces dissipatives qui sont ici les forces de viscosité provenant du glissement des molécules les unes sur les autres.

Si l’on admet que les forces dissipatives sont complètes, c’est-àdire qu’elles agissent toujours dès que le fluide se meut, il faut et il suffit, pour que l’équilibre soit stable, que U soit maximum,

c’est-à-dire que W -f- ^ Ico2 soit maximum.

Si l’on ne tient pas compte des forces dissipatives (et l’on traiterait alors un problème abstrait en dehors de la réalité), cette condition de U maximum serait suffisante, mais elle ne serait plus nécessaire. Il serait très difficile alors d’exprimer cette condition nécessaire, qui varierait d’ailleurs avec les différentes hypothèses faites, comme par exemple pour celle que fait Poincaré.

En réalité, les forces dissipatives existent toujours, mais ne peut-on pas imaginer un mouvement du système tel qu’elles n’agissent plus? Poincaré, qui a soulevé cette difficulté, indique qu’on pourrait considérer un mouvement infiniment voisin du précédent et sans glissement. Il suffirait d’admettre que le liquide