CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

tourne tout d’une pièce et continue à tourner tout d’une pièce, en se contractant par exemple, et en tournant au temps t + dt avec une vitesse angulaire -4- infiniment voisine de la précédente. Dans la réalité, jamais la contraction ne serait uniforme dans toute la masse. Il y aurait toujours des inégalités de vitesse et par conséquent des forces dissipatives.

Poincaré a fait remarquer également que, si l’on suppose le système entraîné par un système rigide comme un axe matériel solide (l’aiguille de l’expérience de Plateau), les forces dissipatives sont complètes, car tout accroissement de la vitesse de rotation produit des frottements. Mais le problème que l’on traite n’est plus celui de la figure des planètes.

Pour le problème de la figure des planètes, Poincaré suppose comme plus naturel qu’on se donne, non pas co, mais le moment cinétique de rotation p = Ico, qui reste constant, même dans la contraction. Il admet alors que la contraction se produit sans introduire de forces dissipatives, de la manière indiquée plus haut. Il démontre que, dans ce cas, la condition nécessaire et suffisante de la stabilité de l’équilibre, celle qui remplace la condition générale de lord Kelvin, est que l’expression suivante soit maximum :

(19) W— ^ = W— -Io>2.

Nous allons démontrer auparavant, avec Poincaré, quelques résultats généraux relatifs au mouvement d’une masse fluide qui se déforme dans son mouvement, comme c’est ici le cas.

95. Mouvement général d’une masse fluide qui se meut et se déforme. Solide équivalent. — Nous rapportons ce mouvement à des axes fixes. Soient m une molécule du fluide, V (w, v, w) sa vitesse. Considérons un corps solide qui, à l’instant t , a la même forme que le corps liquide, qui est composé des mêmes points matériels, dont le centre de gravité a la même vitesse que celle du centre de gravité du fluide, dont le moment cinétique est le même que celui du fluide. Nous l’appellerons le, solide équivalent à l’instant t. C’est le solide que l’on obtiendrait, avec le même mouvement, si l’on solidifiait le liquide, sans changement de volume à l’instant t .

APPELL. — IV

Les axes d’inertie et la somme des moments des quantités de mouvement sont les mêmes pour le fluide et pour son solide équivalent à l’instant t.

Soit Vr(u', p', w') la vitesee de la molécule m, considérée comme

Fig. 45.

appartenant au solide équivalent. Soit enfin Vr(wr, p,., wr) la vitesse relative de la molécule fluide par rapport à la molécule du solide correspondant (Jig> 45). On a

Ur — u — u, Pr= P p', wr= w — w.

Désignons par T, T/,.Tr la demi-force vive totale du fluide, celle du solide équivalent et celle due aux vitesses relatives, nous allons démontrer que l’on a la relation

(20) T = T'-f- Tr

P^ H- wJ. ).