CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE. 25g
Nous avons en effet
U — u' + Ur, V — vr Vr, W — w'-h «v;
donc
= ( U 'â H- p'2-f- M-’'2) -h + pjî+ (V2 ) H- 2(ll'ur-h Vr Vr-\- w'wr).
Multiplions cette relation par m et faisons la somme de toutes les relations analogues correspondant à chaque molécule, on a
T == T'-h Tr-+- S m(u' ur-+- v' vr-\- w' wr).
On démontre que le dernier terme est nul.
En effet, la vitesse du centre de gravité du fluide et du solide équivalent étant égales, on a
X’' mu' mu
Z TT ©2 TT’ 2"î(“-H) = 0-
On en déduit
(i) hmur=o, £ mvr — o, S mwr — o.
Ecrivons également que la somme des moments des quantités de mouvement est la même pour le fluide et le solide équivalent, on a
d’où
2 m (y Wr — zvr) = o
et
hm{zur — xwr) — o, hm^xVr — yur ) = o.
Ces six conditions (i) et (2) définissent en somme, avec la conservation des masses de chaque particule, le solide équivalent.
Exprimons maintenant la vitesse d’une molécule du solide en fonction delà translation instantanée et de la rotation instantanée de ce solide. Soient a, b, c les composantes de la translation et p} q , r celles de la rotation, on a
On tire de là
= 6 + rx -
w = c - h p y — qx.
u ur~ b e vr -h w wr
= aur-h bvr-\- cwr 4- p(ywr — zvr) + q(zur — xwr) -h r(xvr— yur) ;
2Ô0 figures d’équilibre d’une masse liquide en rotation. d où, en faisant la sommation,
Ii7n(u' ur-\- w wr )
= allmur- f- b'Zmvr- h c 21 mwr-+- p'Lm{ywr — spr)
H- q'Lm^zitr — x wr) rZm(xvr — yur).
Or le second membre est nul d’après '(i) et (2), donc le premier membre aussi. On a donc T = T'+ Tr.
Remarque. — Si le fluide se déplace tout d’une pièce, Tr = o et le solide équivalent se confond constamment avec le fluide. Réciproquement, si Tr=o pendant un temps infiniment court, c’est que pendant cet instant le fluide se déplace sans glissement intérieur, à la manière d’un solide invariable. Si Tr est nul pendant un temps fini, le fluide se déplace comme un solide pendant ce temps-là.
Ces généralités pourraient être développées et conduiraient à des propriétés intéressantes, mais la relation précédente est suffisante pour notre problème.
96. Théorème de Poincaré sur la condition de stabilité. — Suivant l’hypothèse spéciale que Poincaré a envisagée comme plus naturelle dans l’étude des corps célestes, nous considérons une masse fluide tournant tout d’une pièce autour de l’axe O 5. Dans ce mouvement d’ensemble, Tr est donc nul. Nous admettons que c’est le moment cinétique p qui est donné et constant, et non la vitesse de rotation.
Pour voir si l’équilibre relatif est stable, dérangeons très peu le fluide de sa position d’équilibre. Nous obtenons un mouvement très voisin du précédent, dans lequel p reste le même. Mais, en général, ce ne sera plus un mouvement d’ensemble. Il y aura à la fois mouvement et déformation. Soient alors, à l’instant £, OA, OB, OC les axes d’inertie du solide équivalent, A, B, C les moments d’inertie par rapport à ces axes, c’est-à-dire les moments d’inertie principaux, p, q , /’ les projections de la rotation instantanée sur ces axes, la force vive du solide équivalent sera
Dans les hypothèses faites, T' dépend uniquement des positions
