CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

des molécules et non de leurs vitesses, grâce à ce fait que p reste constant.

En effet, considérons l’ensemble des positions des molécules à l’instant t, on en déduit la forme du solide équivalent et la valeur des moments d’inertie A, B, G, ainsi que les directions correspondantes des axes principaux d’inertie. D’autre part, en projetant le moment cinétique Op sur ces axes, on obtient les quantités de mouvement correspondantes A p, B q) Cr, et l’on en déduit les composantes p , q , r de la vitesse de rotation.

En résumé, p étant donné, A, B, C, p , q , r sont fonctions de la seule position des molécules, non de leurs vitesses, et T', comme W lui-même, est fonction seulement de la configuration du système.

Appliquons alors le théorème des forces vives. Dans le cas idéal où il ri’y aurait pas de frottement intérieur, on aurait

dT = d\V.

Mais, en réalité, il y a des frottements. Les forces dissipatives entrent en ligne de compte et il faut écrire

(22) dT = dW — ¥>ei d( T — W)<o.

Mais, comme on l’a vu, il y a un cas où les forces de frottement n’interviennent pas : c’est celui où le mouvement infiniment voisin est encore une rotation d’ensemble autour du même axe avec une vitesse infiniment voisine; alors Tr= o. Ainsi donc on a

d( T — W) = o si T,.= o, d( T — W)<o si T,,>o.

Gomme d’ailleurs T — T'-f- Tr, il s’ensuit que l’on a

T' -h TV — W — const. si Tr= o,

T' H- T,. — W décroissant si TV>o.

Nous allons montrer que la condition nécessaire et suffisante pour la stabilité de V équilibre, c'est queT1 — W soit minimum , dans la position considérée. Nous avons vu que T' — W ne dépend d’ailleurs que de la position des points et est analogue à une fonction de forces.

i° La condition est suffisante. — Considérons la position d’équilibre relatif dont nous étudions la stabilité. Soient Te et We les valeurs de T et de W dans cette position. Nous disons que si — W e est minimum l’équilibre est stable.

En effet, dans cette hypothèse, si l’on dérange infiniment peu le système, on a

et à plus forte raison

(23) T — W -4- T, T — AV > T;— We.

Cette relation a lieu à l’instant initial où l’on produit le dérangement et à tous les instants suivants. Or, T'-f-Tr — W va en diminuant; donc T' — W ne peut pas augmenter et doit rester infiniment voisin de la valeur d’équilibre Te — We, et la nouvelle configuration reste infiniment voisine de la configuration d’équilibre relatif.

En d’autres termes, soient x{, yt, z, , x2, y2, z2 , ... les coordonnées des molécules dans la position d’équilibre étudiée, et soient g, , A, , A, , g2, h2: A2, ... les accroissements infiniment petits donnés à ces coordonnées au moment de la perturbation; ce qui donne pour les nouvelles coordonnées de ces molécules

X\-\- g y±-h ht, Zi—ki.

On aura alors, puisque T' — W est une fonction de la configuration du système,

T' — AV = T;— W ,.+/(*„ Ai, k g,, hi: A,, . . .);

f est fonction des petits écarts : comme par hypothèse on a ici un minimum, les premières dérivées sont nulles et l’on a une forme quadratique qui doit rester très petite, d’après les inégalités (23). La configuration envisagée est donc stable.

2° La condition est nécessaire. — Nous allons montrer que, si T* — We n’est pas minimum, l’équilibre n’est pas stable.

En effet, si — We n’est pas minimum, on peut trouver une configuration voisine telle que l’on ait

T' — AV < Té — AV*.