CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

On peut même faire en sorte que l’on ait

T' W h- TV< T'e — We.

Il suffit pour cela de donner aux molécules, très peu écartées, des vitesses relatives assez faibles pour que Tr reste assez petit.

Cette inégalité ayant lieu à l’instant initial de la perturbation, on sait qu’à partir de là T; -4- T,- — W décroît. Mais il peut décroître indéfiniment, car ici aucune inégalité ne vient limiter cette décroissance et T' — W s’écartera de plus en plus deT^ — We. Si Tr ne tend pas vers o, alors T' — W décroît plus rapidement et la configuration s’écarte complètement de celle d’où l’on est parti. Même si Tr tend vers o et si T' — W, en décroissant, tend vers une limite, cette limite sera à coup sûr différente de T'e — We, puisque T' — W a décru tout le temps. Le système pourra atteindre ainsi une autre position d’équilibre, mais non revenir à la position initiale, laquelle est donc bien instable.

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante de la stabilité de l’équilibre, c’est que T' — W soit minimum dans la position considérée. Or, dans la position d’équilibre, on a

rr/ I T , I P'2 î = - I OJ2 = - •

La condition trouvée peut donc aussi s’exprimer en disant que

- ^7 W doit être minimum, ou encore que W — - ~ doit être

maximum, condition nécessaire et suffisante, dans l’hypothèse en

question.

En résumé , dans l’hypothèse de lord Kelvin, si l’on suppose que le fluide ne puisse pas prendre de configuration voisine sans qu’il s’introduise de frottements, forces dissipatives, la condition nécessaire et suffisante pour la stabilité de l’équilibre est que

W + ^Ica2 s°it maximum. On peut considérer alors la vitesse de rotation w comme donnée.

Dans l’hypothèse de Poincaré, au contraire, si l’on suppose que le fluide puisse prendre une configuration voisine de l’équilibre, sans qu’il s’introduise de frottements, la condition ci-dessus, qui est toujours suffisante, n’est plus nécessaire. L’équilibre

peut être stable même sans cela. La condition nécessaire et suffisante est alors que W — ~ soit maximum.

Si la condition de lord Kelvin est vérifiée, puisqu’elle est suffisante, l’équilibre est nécessairement stable et la condition de Poincaré doit être également vérifiée. Mais la réciproque n’est pas

vraie. Autrement dit, si W -f- -Iw2 est maximum, W — - l’est

aussi; mais si W — ~ -y est maximum, cela ne prouve pas que

W -f- - Ico2 le soit.

En effet, supposons la condition de lord Kelvin réalisée; on aura, en désignant par l’indice e les valeurs d’équilibre relatif qui donnent le maximum

W + - I w2 < We -+- - Ie w2.

Je dis qu’il est impossible qu’on ait en même temps

W- 1 £ > W — 1 ÏT-i W 2 I > 2 L’

c’est-à-dire comme p =

,T7. I If w2 I

- w + - -Zf-r <-Wg+ ^IgW2.

En effet, ajoutons cette dernière inégalité à la première, il vient

Iw2(i + ^) < Iw2(2Ie) ou (I Ie)2<0,

résultat absurde. L’inégalité de lord Kelvin entraîne donc celle de Poincaré.

On voit, d’ailleurs, que la limite donnée par Poincaré est plus basse que celle de lord Kelvin.

97. Représentation graphique des courbes d’équilibre. Systèmes à un paramètre. — Nous allons étudier maintenant, en appliquant les principes généraux qui viennent d’être démontrés, la stabilité