CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

de l’équilibre d’un système dont la configuration dépend d’un seul paramètre. Nous considérerons des séries linéaires de positions d’équilibre dépendant elles-mêmes d’un paramètre variable, et nous suivrons ces séries linéaires, en nous attachant à connaître la nature de la stabilité de chaque position.

Voici comment nous arrivons à définir de tels systèmes. Nous supposons que l’équilibre d’un système à une seule coordonnée q existe et est stable quand une certaine fonction U (q, X) contenant un paramètre X est maximum. Cette fonction, d’ailleurs, n’est pas nécessairement une fonction de forces.. Si X est donné, la connaissance de q détermine la configuration du système.

La condition d’équilibre s’écrira

dU

dq °*

Nous poserons

(24) ^ =f(q, X), d'où f(q,X) = o.

C’est cette équation qu’il faudra résoudre pour avoir q, c’est-à-dire

pour avoir la valeur de la variable q donnant une position d’équilibre. A chaque valeur de X correspondent, en général, plusieurs valeurs de q . Si X varie à partir d’une valeur X0 déterminée, pour laquelle on a k valeurs de q données par l’équation (24), ces k valeurs varieront d'une façon continue, à partir de leurs valeurs

initiales, et nous aurons ainsi une ou plusieurs branches de valeurs, qui seront des courbes représentatives des positions d’équilibre

(. fie- 46)-

On peut, en effet, représenter graphiquement les résultats en prenant deux axes O X et O q et en construisant la courbe f(q-, X) — o. Cette courbe nous représente la variation que doit subir le paramètre q quand X varie, pour que l’équilibre subsiste. Chaque valeur de q déterminera une courbe distincte et, pour une même valeur X0 de X, nous aurons autant de points M et de configurations d’équilibre qu’il y aura de valeurs q correspondantes.

Faisons croître X à partir de X0 et, partant de la valeur correspondante qK de q , dont le point représentatif est M,, suivons la courbe que décrit Mi . Cette courbe est continue, au moins aussi

longtemps que la dérivée existe. Or, la dérivée est donnée par la formule

dJL M , dJ = «

àqdX àl

Do*ic cette dérivée existe et est unique tant que l’on aura ££ o,

et l’on pourra suivre parfaitement le déplacement du point M<, dont chaque position déterminera une position d’équilibre.

Que faut-il pour que le point M, soit représentatif d’un équilibre stable? Il faut que U soit maximum, c’est-à-dire que l’on ait

Or, nous pouvons écrire

Si Fon a en ce point a <; o, l’équilibre est stable. Il est instable si a >> o; c’est pourquoi nous appellerons a coefficient de stabilité. Tant que le coefficient de stabilité ne s’annule pas, la dérivée

~ existe et l’on peut suivre la courbe de sans qu’il se présente

de difficulté. De plus, la stabilité ne varie pas tant que ^ existe, car garde alors un signe conslant et ne s’annule pas. Il n’en est plus de même quand ~ s’annule, car alors la tangente à la courbe

dq 5

àq*