CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D'ÉQUILIBRE
de M, devient verticale, ou bien il y a un point double. Nous examinerons ces cas particuliers plus loin.
Cherchons comment on peut déterminer sur le graphique si le point M correspond à un équilibre stable ou à un équilibre instable. La courbe f(q, A) = o partage le plan en deux ou plusieurs régions dans lesquelles la fonction f{q, À) prend les signes -f- ou — . Nous conviendrons de couvrir de hachures les régions où J{q} est négative. Considérons seulement une branche de la courbe, dans une portion du plan où ne passe aucune aulre branche ( fig . 47 )•
Fig. 47.
Fig. 47 bis.
Si la fonction f(q, À) a le signe -f- au-dessous de la branche de courbe considérée, elle aura au-dessus le signe — . Considérons le point figuratif M, qui correspond sur cette branche à la valeur A0 du paramètre, et menons la droite A0M. Si l’on suit cette droite dans le sens des q croissants, on voit que la fonction f(q, ^), d’abord positive, s’annule sur la courbe, puis devient négative. Donc f (q, décroît quand q croît; on a donc en ce point M
àf
dq
donc
a = TT < 0 3
àq *
et l’équilibre est stable en M et le long de la courbe qu’il décrit.
Dans la situation de la figure 47 bis, si la région négative est audessous, la courbe est une courbe d’équilibre instable.
Supposons maintenant que nous ayons plusieurs courbes d’équilibre dans le plan. Supposons que f [q , 1) soit positif entre la première courbe et l’axe des A, alors cette fonction sera négative entre la courbe M1 et la courbe M2, positive entre M2 et M8, et ainsi de suite {fig. 48).
Déplaçons-nous dans le sens de q croissant sur la droite LMjMoM^ . . . , on voit que sera un point représentatif d’une
Fig. 48.
position d’équilibre stable, M2 d’équilibre instable, M3 d’équilibre stable de nouveau, et ainsi de suite.
Ainsi la branche (i) et toutes les branches impaires seront des branches d’équilibre stable. La branche (2) et toutes les branches paires seront des branches d’équilibre instable. Cela aura lieu tant
que ~ restera différent de zéro sur chacune de ces branches.
98. Cas particuliers. Points limites et points doubles. — Considérons la courbe f(q- X) = o; si, en un point, f'q s’annule, alors que reste fini et différent de zéro, la courbe en ce point a une tangente verticale. Si f'q = o et f{ = o, le point est un point singulier et nous nous bornerons, dans ce cas, à l’étude du point double.
i° Tangente verticale. — Supposons fq— o et o pour une certaine valeur de 1. En ce point M0, on aura une tangente verticale à la courbe /(^, X). Dans ces conditions, prenons 1 << ;
si la courbe a la disposition indiquée par la figure 49> on obtient deux valeurs de q au voisinage de M0, c’est-à-dire deux positions d’équilibre dont les points figuratifs sont M et M'. Quand 1 tend vers ces deux positions tendent simultanément vers M0 et,
