CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

quand X > X0, ces deux valeurs de q deviennent imaginaires conju-

Fig. 49-

guées. Cette configuration représentée par le point M0 est une configuration ou une figure d' équilibre limite.

Au point de vue de la stabilité, si /(q-, X) est positif à droite de la courbe et négatif à gauche, nous aurons stabilité en M et sur toute la portion inférieure de la courbe; instabilité en M' et sur toute la portion supérieure de la courbe.

Ainsi, dans ce cas de figure, la branche MM0 est stable, la branche M0M' est instable. Suivons la courbe d’une façon continue, en partant de M par exemple, et en nous déplaçant dans le sens des X croissants, nous rencontrons des points figuratifs d’équilibre stable jusqu’en M0 ; mais, à partir de ce point, il faut revenir vers les X décroissants, pour continuer à suivre la courbe, et de plus tous les points sont des points d’équilibre instable.

Ainsi donc, au passage d'un point limite , la stabilité se change en instabilité et réciproquement .

20 Point double. — Supposons à la fois f — o et = o, c’està-dire

àq%

ôq X

Pour les valeurs X0 et qQ, pour lesquelles sont vérifiées ces deux équations, on a généralement un point double. Nous supposerons qu’il en est bien ainsi ( fi g . 4p bis).

Soit donc X0 la valeur qui vérifie à la fois ces deux équations, et désignons par (i) et (2) les deux branches de la courbe. Pour rester sur la courbe (1) en traversant le point double, il suffira de

prendre pour critérium la continuité de la tangente. Enfin, nous supposerons que les signes de /(<7, X)dans les diverses zones sont celles indiquées sur la figure.

Fig. 4g bis.

Prenons d’abord X<X0. Il correspond à chaque valeur de X deux positions d’équilibre Mi etM2. En Mj il y a stabilité et enM2 instabilité. Quand X se rapproche de X0, alors M, et M2 se rapprochent de M0 et viennent s’j confondre. Quand X continue à croître et dépasse X0, nous retrouvons encore deux positions d’équilibre, dont M', et M'2 sont les points représentatifs. Mais actuellement la branche de courbe (i), et par conséquent le point M,, est au-dessus de la courbe ( 2 ) et du point M2 . En M' il y a maintenant instabilité et en M2 stabilité.

On dit, dans ce cas, que le point M0 est un point de croisement ou de bifurcation. On voit donc qu’en un point de bifurcation deux figures d1 équilibre se confondent , dont l’une est stable et l’autre instable. On voit de plus qu’aw point de croisement les stabilités s' échangent, comme au point limite, avec cette différence que X continue à croître. En suivant une même branche de courbe, la figure d’équilibre devient instable si elle était stable, et inversement.

3° Tangente verticale et point double. — Il j a un cas plus particulier et remarquable, parce qu’il se présente dans la théorie de l’équilibre d’une masse fluide : c'est celui où l’une des tangentes au point double est verticale.

Nous nous plaçons dans le cas représenté par la figure 5o. Pour X < X0, il J a trois figures d’équilibre M*, M' et M2. Après X0 pour