CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE
X > X0. M| et M' s’évanouissent. Il ne reste plus que M'2. En M0 viennent se confondre trois positions d’équilibre, quand X croît,
Fig. 5o.
dans le cas de la figure. Ce point est à la fois un point de croisement et un point limite.
En désignant par (i) la branche qui admet une tangente verti-
Fig. 5o bis.
cale et par (2) la branche qui traverse la précédente, on voit que, dans le cas de la figure, la branche (1) donne des positions d’équilibre qui sont toujours stables, au-dessus comme au-dessous du
point M0 . La branche (2) donne des figures d’équilibre instables avant M0 et stables après. L’instabilité .se change en stabilité, comme dans le second cas.
D’une façon générale, la nature de la stabilité ne change pas sur la courbe à tangente verticale. La stabilité change de nature au point double sur la courbe qui traverse. La nature de la stabilité sur la courbe à tangente verticale est la même que dans la partie de l’autre courbe qui n’est pas comprise entre ses branches.
U échange des stabilités n'a donc lieu que sur la branche simple. On pourrait continuer la discussion et considérer des points triples, etc. Les cas que nous venons d’envisager suffiront pour la suite de cette étude.
99. Application au mouvement d’un point sur un cercle tournant. — Nous allons traiter un problème élémentaire de mécanique rationnelle, en nous plaçant aux divers points de vue développés ici, avec les divers cas particuliers.
Soit un cercle qui tourne avec une certaine vitesse angulaire autour de son diamètre vertical. Un point M, assujetti à rester sur ce cercle y glisse sans frottement. On se propose de chercher, en fonction de la vitesse angulaire de rotation, les positions d’équilibre, et d’étudier leur stabilité.
La fonction dont dérive la force appliquée au point matériel est
U = mg z -1- ~ m ;
en prenant l’angle 0 pour la coordonnée qui définit la position du mobile (fig> 5i), on peut l’écrire
U = /?i^R cos 0 -4- - mcb2R2 sin20 = mw2R2 ^X cos0 H- * sin2 0^ en posant
La position du système dépend de 9; le paramètre varie avec la vitesse de rotation a).
Les positions d’équilibre sont données par l’équation dU
ou
U' = sin 0(cos0 — X) = o.
