CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Quand X varie d’une façon continue, on obtient des séries linéaires de position d’équilibre.

Construisons la courbe correspondant à l’équation d’équilibre. Elle comprend d’abord les droites 9 — o et 0=zhÂ’7r, qui sont parallèles à l’axe horizontal, et la sinusoïde X = cos0, qui serpente

Fig. 5i. Fig. 5i bis.

autour de l’axe vertical {fig* 5i bis). Ne considérons que la partie comprise entre — 7T et — f— 7r, et marquons de hachures les régions où U' est négative.

Nous remarquons que X est essentiellement positif, d’après sa valeur indiquée plus haut; par conséquent, il part de o et peut d’ailleurs augmenter indéfiniment. Pour X = i, nous aurons un point double avec tangente verticale au point M0.

Lorsque X est très grand, c’est-à-dire ca très petit, il n’y a que deux positions d’équilibre P et P', car P" n’est autre chose que P'. P correspond à 9 = o et P' à 9 = n. La position P est stable et P' est instable. Il en est ainsi aussi longtemps que X> i . Ce sont les deux extrémités M et M' du diamètre vertical du cercle O ( fig . 5i). La position M est stable.

Lorsqu’on a o < X < i , il y a quatre positions d’équilibre M,, Mj, M, M'; alors M et M7 sont des positions d’équilibre instable, tandis que M| et M', sont des positions d’équilibre stable. Ce sont les mêmes points sur le cercle O. La position M est devenue instable.

Quand X diminue, c’est-à-dire quand co augmente, 9 tend

APPELL. — IV

vers ^ et les positions d’équilibre stable M, et M', tendent vers B

et B' situés sur le diamètre perpendiculaire à l’axe de rotation. *

La position X = i est à la fois une position limite et une position de bifurcation. En ce point, les positions M, M,, M' sont confondues en M0, et c’est une position d’équilibre stable. On voit que, conformément à la théorie générale, la stabilité est de même nature sur la sinusoïde et sur la partie de l’axe des X extérieure à la sinusoïde.

100. Système à n variables dépendant d’un paramètre. — Considérons un paramètre X. Soit U(^1 , q2-, . .., qn, X) une fonction de n coordonnées et de ce paramètre, telle que le système est en équilibre stable quand elle est maximum. Les conditions d’équilibre sont alors

dû

àqx ’ àq^

dû

àqn

De ce système d’équations on tirera la valeur des n coordonnées du système pour lesquelles l’équilibre a lieu. On obtient d’ailleurs ces valeurs en fonction de X. Quand X varie, ces valeurs varient également et l’on obtient, en suivant une même série de déterminations des paramètres q , une série linéaire de positions d’équilibre.

Nous poserons pour les solutions du système (27)

(28) qx = Ç1(X), q.2= <p2(X), .... ?n=<p*(X).

Ces équations représentent une branche de courbe dans l’espace à n -f- 1 dimensions. Nous pourrons suivre celte branche de courbe quand X variera, et les diverses positions du point variable M de cette courbe représenteront des positions d’équilibre. Partons d’une position d’équilibre stable par exemple, correspondant à une certaine valeur de X, nous n’éprouverons aucune difficulté pour la détermination de la nature de l’équilibre tant que certains éléments ne s’annulent pas.