CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Dérivons par rapport à 1 le système (27), il vient

1 d2U dqx J2 U dq% d2U dqn ^ d 2 U

I dq ? d\ ~1' dqxdqi d\ àq\ ôqn d\ dq\dX

\ d2U dqx d2V dq% d2U dqn + d2U

(29) ! àq^dqx d\ dq\ dX dq^dqn dX dq^dX

f dâU d<Il d2U dq 2 à2 U dqn ^ d2U

\ dqn àqv dX dqnàq^ dX dq\ dX dqndX

De ce système (29), on tirera sans ambiguïté les valeurs de

dqx dq2 dqn

dX’ ~dX* ~dX1

à moins que le déterminant de leurs coefficients ne soit nul :

àqf

dq \ dq2

dqx dq ,

àq2 dq 1

àqî

dq 2 dq,

dqn dq 1

dqn dqx

dql

Ce déterminant A est le déterminant fonctionnel des dérivées premières, considérées comme fonction des paramètres q. En posant, pour abréger l’écriture,

aik = 1 ï — )

oqt dq/c

on a

A = | aik j.

Tant que A est différent de o, nous obtenons pour les — des

valeurs bien déterminées, et nous pouvons suivre par continuité sur la courbe la série des positions d’équilibre. Mais si pour une certaine valeur 1 — X0 on a A = o, on se trouve alors dans un cas singulier. Nous supposerons, comme dans le cas d’un seul paramètre, que ce point singulier est du premier ordre, c’est-à-dire que, pour cette valeur, les mineurs de A ne sont pas tous nuis.

Nous supposerons par exemple que le mineur au moins est différent de o.

Quelle est alors la condition pour que U soit maximum? Considérons une position d’équilibre où les paramètres q ont des valeurs, fonctions de A, et connues. Considérons une position infiniment voisine et soient

q 1 ^1, q 2+ ho, . . . , qn^r- hn

les nouvelles coordonnées du système. On aura pour la nouvelle valeur de U

qï-+- ho, qn~hhn)