àqj

— U Q'ikhihk-}- H.

àHJ

àqiàq-2

Les termes du premier degré en h 1, /ï2, • • • , hn ont disparu, caron a ici dans la position d’équilibre

dû dU o dU

dq 1 ’ ôq 2 3 ’ ()qn

H contient les termes d’ordre supérieur au second. Pour que la fonction

u(? h q 23 ■ • •• qn)

soit maximum, il faut et il suffit que la forme quadratique

2 aikhihk

soit définie et négative.

Faisons le changement de variables

h y — Cil kl -h C12 k%-+- . . . H- Gin kn,

ho. = c2i ki — 1~ c29 k% . . . — (— Cou knj

V hn = cni A?i H— C/12 k<2 H- . . . H- cnn kn.

Les nouvelles coordonnées du système seront k{, /f2, . . ., kn. Soit D = | dk | le déterminant de cette substitution. Nous pouvons réduire, par une substitution appropriée, la forme quadratique à une somme de carrés et cela d’une infinité de manières, de façon

CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE. 277 à avoir

Le discriminant de la nouvelle forme est égal au discriminant de l’ancienne multipliée par le carré du déterminant de la substitution

On voit que le produit des a ne peut s’annuler que si A s’annule et réciproquement, et que le signe du produit est le même que le signe de A. Ainsi A ne change de signe que si l’un des a s’annule.

Poincaré appelle pour cela les a les coefficients de stabilité du système. Pour que l’équilibre soit stable, il faut, comme nous l’avons vu, que 'la,khihjc soit une forme définie négative. Pour cela, il faut et il suffit que tous les a soient négatifs.

Dès que l’un des a devient positif, il y a instabilité, car en déplaçant le système de façon que k , par exemple seul ne soit pas nul, si ai est positif, dans ce déplacement la forme quadratique hai/chilit sera positive et l’équilibre instable. Si un seul des coefficients est positif, il y a instabilité du premier degré. Si deux coefficients sont positifs, l’instabilité est du second degré et ainsi de suite.

101 . Réduction au cas d’une variable à un paramètre. — Pour étudier comment se succèdent les positions d’équilibre stable et instable, quand on suit par continuité une série de positions d’équilibre, Poincaré a ramené le cas général au cas d’une variable et d’un paramètre, de la façon suivante.

Dans la discussion du numéro précédent, nous avons tiré les valeurs des paramètres q en fonction de X, du système (27) qui définit l’équilibre

S ant hi h/c = a 1 -f- a2 k\ -h . . . -h a/t kjt

axa, . . . a/t = AD2.

dU dU

àqi ~ °’ àq-2

àqn

Nous allons maintenant procéder autrement. Des 71 -f- 1 dernières équations précédentes, nous tirons q gr3..., qn en fonction de qx et de X. Pour que cela soit possible, il faut et il suffit que

soit différent de o le déterminant fonctionnel suivant :

d“ IJ

dq\

ôq-2 âqz

ôq.àqn

dq 3 ôq 2

àql

)qz àqn

ôqn d</2

ôqn àq 0

àql

Or ce déterminant n’est autre que , et nous avons supposé

que cette expression n’est pas nulle dans la position d’équilibre étudiée, pour 1 = X0, ni par conséquent dans un certain champ voisin.

Ainsi pour 1 variant dans un certain intervalle de A0 — l à A0 ~h l, nous pouvons tirer des équations (34) les valeurs des paramètres q en fonction de <7, et de X. Alors U (qK , q2 • . . qn) deviendra U ( q , X) et si U (q{ , q2 . . • qn, est maximum en considérant qu q2. . .qn comme des variables indépendantes, en remplaçant q2,q<t- • -qn par leurs valeurs en fonction de qK et de A, la fonction obte-

nue LJ(^|,X) sera encore

maximum, et par conséquent sera

négatif. La réciproque ne serait pas vraie.

Nous pouvons raisonner maintenant sur U(^i,A) comme sur une fonction à une variable et à un paramètre.

i° Calculons d’abord

dU dU dU dq2 dU dgn

dqx dq\ ôq 2 d\ ’ ‘ ’ dqn dX

Mais puisque U (qA , q2 . . • qnx ) à une position d’équilibre, on

àq2

àq-i

àqn

et il vient

dU dU dq 1 dq\

2° Calculons ensuite la dérivée seconde, en tenant compte