CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE
de (36), J<r 1 —
d2U : àqï
d2U dqt d2ll dq% l d2U
àq\àq2 dX àqxàqz dX
dq'\ dq\ ~~r~ àq\ àq* dX àqxàqz dX 1 àq\àqn dX
expression que nous pouvons écrire sous la forme
(P U d2U <^2 (i7) + ^Tdg, dï
()qx ôq a dX
Écrivons de même, en les différentiant par rapport à , les n — i dernières équations (36), on a
1 PU
PU
dq \
PU
dq-,\
dqn
1 àq* ôq\
dq\
dqi
àq 2
dq\
àq2àqn
dq 1
| PU
PU
dq 2
dq 3
PU
dqn __
l àqzdqx
ôq z àqx
dq 1
àq 3
dqx
/ PU
PU
dq2
dq 3
dqn
àqnàq 1
àqn àq *
dq\
àqn )qz
dqx
Ces n équations (37), (38) sont satisfaites par hypothèse si Ton
remplace les n — 1 quantités
dqn
dq\
par leurs valeurs.
t suivant est
donc
nul :
— fq 1 +
Uni
Ce qui peut s’écrire
(JA à «n
Jq'da „
Nous savons qu’avec nos hypothèses on a à^
A = aja2 . . . a„ — •
PU
dq'\ ’
et nous
Cette relation nous instruit donc du signe de f'q
savons que si la position qx , q2 , ^3, . . . , qn est stable, cette fonction doit être négative.
280 figures d’équilibre d’une masse liquide en rotation.
102. Application à la détermination des courbes de stabilité. — Nous pouvons maintenant appliquer à l’équilibre d’un système, dont la position dépend de plusieurs coordonnées, ce que nous avons dit de l’équilibre d’un système à coordonnée unique.
Considérons la courbe qui représente graphiquement dans un plan les positions d’équilibre, c’est-à-dire
A } = dql = °'
Partons d’une position d’équilibre stable de notre système à plusieurs coordonnées. Dans ces conditions, les a sont négatifs,
comme nous 1 avons vu, et est negatit.
Faisons varier maintenant À d’une façon continue. La valeur de fq i ne change pas de signe tant qu’aucun des a n’est nul. Donc le système reste stable tant que l’un des a ou que fqx ne s’annule pas.
Si fqx s’annule en un point pour lequel on a "k=f0 alors l’un des ol et un seul s’annule. En effet, si deux des a s’annulaient, la somme (32 ) se réduirait à n — 2 carrés et par conséquent tous les mineurs s’annuleraient pour cette valeur ce qui est contraire à l’hypothèse.
Ainsi la configuration que nous suivons et qui est stable au début reste stable aussi longtemps que f'qx ne s’annule pas, c’est-àdire aussi longtemps que tous les a sont différents de o.
Supposons maintenant que a, par exemple s’annule, tous les autres a restant négatifs.
i° Il peut y avoir une figure limite relative à U (^i, X). Dans ce cas, les stabilités s’échangent sur les deux branches de la courbe plane. On voit facilement à quoi cela correspond. Au point M0, f s’annule et change de signe. Par conséquent, oct s’annule et change de signe aussi, et, dans le système à n paramètres, la stabilité fait aussi place à l’instabilité ( fig. 49)-
2° Il peut y avoir égalemsnt un point double de la courbe
plane, c’est-à-dire de la courbe U(^1 , À) = o. Pour la branche
(i), étant données les conditions de la figure, nous savons qu’il y a stabilité pour À<C X0 et instabilité pour A >» 10. Pour la branche (2), c’est le contraire ( fig. 49 bis).
