CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Suivons la branche (i) : notre f, d'abord négatif, s’annule au point double, puis devient positif. Par conséquent a, négatif d’abord, comme les autres a, s’annule et devient positif.

Suivons maintenant la branche (2). De même f d’abord positif s’annule pour X = X0 et devient négatif. Il faut donc nécessairement qu’un des a d’abord positif, s’annule et devienne négatif. C’est d’ailleurs le même a que précédemment, c’est-à-dire a,, puisque pour X = X0 un seul paramètre peut s’annuler, par hypothèse.

Pour le système correspondant à n coordonnées, cela veut dire qu’en partant d’un équilibre stable et suivant une certaine série linéaire de configurations, la stabilité est conservée jusqu’en X0. Si alors nous continuons à suivre la même série linéaire, nous trouvons maintenant des positions d’instabilité, car a{ d’abord négatif est devenu positif. Mais puisqu’il y a point double , on peut bifurquer dans une autre direction où a{ reste négatif et où l’équilibre reste stable.

3° Quand le système du plan a un point double avec tangente verticale , nous voyons de même que pour le système à n coordonnées on peut suivre deux séries de configurations d’équilibre. Pour des valeurs X < X0, par exemple, on aura trois figures d'équilibre ; pour les valeurs X >> À0 on n’en aura plus qu’une. On voit alors que si l’équilibre est instable sur la courbe (2) il sera stable après, et qu’il sera stable sur toute la branche (1).

103. Application à la stabilité des figures d’équilibre d’une masse fluide. — Nous considérons le moment cinétique p comme donné.

L’équilibre sera stable si l’on a W — ^ y maximum. Ici le paramètre dont dépendent les positions d’équilibre stable est p.

Rappelons qu’au point de vue des dimensions, en désignant par L, M, T la masse, la longueur et le temps, on a pour les formules de dimensions

W = ML- T-2, I = ML2, p == ML2 T-1.

Nous allons rendre l’expression W — y y indépendante du choix des unités de la façon suivante. Désignons par 0 la durée de

la révolution, par T le volume du fluide, et par M sa masse. En remplaçant W, I et p par les expressions

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