CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

qui se projette en Am0B sur le plan S0£. La cote des différents points représentatifs est donnée par la valeur de X2, qui remplace k.

Partons de X — o, nous avons une masse fluide immobile et la figure stable est la sphère , car pour la sphère W est un maximum absolu, point S.

Donnons à X des valeurs croissantes, p augmente et aucun des coefficients de stabilité ne s’annule tant que nous ne trouvons pas une figure de bifurcation. Les figures d’équilibre sont donc stables et nous savons que ce sont des ellipsoïdes de Maclaurin.

Si X continue à croître, le point figuratif monte sur la courbe depuis S jusqu’en E ou M0. Nous savons en effet que la première figure de bifurcation qu’on rencontre est précisément E, ellipsoïde d’équilibre commun aux Maclaurin et aux Jacobi.

A ce moment, un des coefficients s’annule. Nous savons que le point E est un point limite pour la courbe des Jacobi, mais non pour celle des Maclaurin. Si donc nous continuons à suivre la branche des Maclaurin, le coefficient qui s’annule devient négatif et l’équilibre instable sur M0E0. Mais, si nous bifurquons, cet a redeviendra positif sur les deux branches des ellipsoïdes de Jacobi , où l’équilibre sera stable sur M0 M0 et sur M0M". Nous sommes en effet dans le cas d’un point double avec tangente à la branche des Jacobi, perpendiculaire à l’axe OX. Gomme les deux branches de la courbe des Jacobi sont réelles pour des valeurs X > X0

( X0 correspondant à E), nous savons que ces deux branches correspondent à des ellipsoïdes stables.

Suivons donc maintenant la courbe des ellipsoïdes de Jacobi. Nous aurons encore des figures stables tant qu’aucun des coefficients a ne s’annule, c’est-à-dire jusqu’à ce que nous rencontrions une nouvelle figure de bifurcation, E, ou E, .

La première figure que l’on rencontre est celle du jacobien critique E, d’où dérivent les figures pirif ormes. Soit X'0 la valeur du paramètre en ce point. Que se passera-t-il si l’on continue à faire croître a? De E à E, les jacobiens étaient stables. Si l’on continue sur cette courbe, on trouvera des jacobiens instables. Il semble donc que pour continuer à trouver des figures stables, il suffise de bifurquer sur la courbe des figures piriformes. Remarquons que cette courbe a un point limite pour E,, et se compose dans le voisinage de deux courbes symétriques, parce que la figure infiniment voisine du jacobien critique peut être piriforme par le haut ou par le bas, comme on l’a vu. C’est donc sur cette courbe que se portera la stabilité, si elle existe. Il faut pour cela que les branches de cette courbe soient au-dessus de E1? c’est-à-dire qu’elles soient réelles pourÀ<À'0. Elles seront stables seulement si ces courbes sont situées au-dessus du plan mené par E, perpendiculairement à O À. Elles ne seront pas stables dans le cas contraire.

104. Instabilité de la figure piriforme. — On a vu au n° 96 un théorème de Poincaré d’après lequel la condition nécessaire pour

l’équilibre stable est que l’expressiun W — ~ soit maximum. Mais

cette condition exige que la déformation ait lieu sans frottement, sans forces dissipatives. Or, dans la transformation d’un ellipsoïde en un autre ellipsoïde, comme pour le passage des ellipsoïdes de Maclaurin à ceux de Jacobi, avec l’ellipsoïde de bifurcation E, cette condition peut se trouver réalisée.

En effet, il suffit de concevoir que toutes les couches moléculaires, parallèles à l’un des plans principaux, se contractent ou se dilatent uniformément et normalement à ce plan. La figure reste ellipsoïdale et les molécules subissent toutes une translation proportionnelle a leur distance à ce plan et qui n’introduit aucun déplacement relatif des points voisins, et par conséquent, aucun