CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

frottement. Soit par exemple un ellipsoïde d'axes a, b, c. Multiplions toutes les distances au plan bc par celles au plan ac par|-> celles au plan ab par ^ , avec la condition a'b’c = abc

qui conserve le volume. Nous avons réalisé un nouvel ellipsoïde d’axes a , b', c' , toujours homogène, de même volume et de même densité, sans aucun glissement de molécules l’une sur l’autre.

Schwarzschild [Die Poincaresche Théorie des Gleichg ewichts Annalen der K. Sternwarte , München, Bd 3, 1898) a fait remarquer que la condition ci-dessus, déterminée par Poincaré, ne s’appliquait plus aux figures voisines des ellipsoïdes, comme la figure piriforme, où la déformation introduit nécessairement des

glissements et des frottements. Le maximum de NV — n’était

plus un critérium suffisant. Schwarzschild montre que la figure stable sera celle dont le moment d’inertie sera le plus grand.

Poincaré reconnaît le bien-fondé de cette critique, et, dans un important Mémoire Sur la stabilité de t équilibre des figures pirif ormes affectées par une masse fluide en rotation ( Phil . trans . of the Royal Soc. of London, t. 198, 1901) il reprend la question pour cette figure particulière. Par une méthode remarquable, basée sur l’expression de l’énergie d’une double couche, il va jusqu’à la deuxième approximation pour la forme de la surface et en déduit la condition nécessaire et suffisante pour la stabilité. Il s’agit de déterminer le signe d’une série dont deux termes seulement sont négatifs, et Poincaré donne tous les éléments du calcul.

G. -H. Darwin, qui déjà s’était occupé des jacobiens depuis 1887, et qui venait de publier un Mémoire sur la traduction des fonctions de Lamé, pour les adapter aux calculs numériques et pratiques, applique alors sa méthode au calcul exact de la figure piriforme, et, l’année suivante, sur les conseils de Poincaré, aborde l’étude de la stabilité de cette figure. 11 traduit les notations de Poincaré suivant sa méthode, pousse le calcul assez loin et en conclut que la figure piriforme est stable. Du moins il lui paraît impossible que le résidu non calculé puisse changer les résultats.

Le très important Mémoire de- Liapounofï sur la stabilité des figures ellipsoïdales d’un liquide animé d’un mouvement de rotation (1884), écrit en russe, ne fut connu qu’en 1904 par la Ira-

duction de Davaux dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. A la demande de Tchebytchef, il avait recherché s’il n’y avait pas d’autres ellipsoïdes de bifurcation analogues à l’ellipsoïde de Maclaurin, qui devient la souche des ellipsoïdes de Jacobi, Il avait abouti aux mêmes résultats que Poincaré, et vers la même époque. Il reprend ces questions en 1905, dans une étude générale résumée dans son Mémoire Sur un problème de Tchebytchef. Il démontre alors que la figure piriforme n = 3 est instable et que des deux figures, positives et négatives, obtenues pour n =4, négative est stable et la positive instable.

Il démontre que la figure d’équilibre est stable ou instable, suivant que l’expression

est minimum ou non pour cette figure. Dans cette expression, la densité est 1, l’intégrale double est étendue à tous les éléments dr et dr du volume fluide, associés deux à deux et situés à la distance rl’un de l’autre, M0 est la constante

{JL2 CO2 12

2*/ ~ 2 Tzf

I désignant le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation. Cette expression est, en somme, l’analogue de celle de Poincaré, etla remplace pour les figures non ellipsoïdales. M. LiapounofF a consacré tout un Mémoire à la recherche du minimum de II. Faisant en particulier les calculs numériques pour la figure piriforme, il trouve que II n’est pas minimum et que la figure est instable.

A la suite de ces travaux, G. -H. Darwin reprend ses calculs et retrouve le même résultat relatif à la stabilité de la figure piriforme. En 1910, Ladislas Bénès refait tous les calculs indiqués par Poincaré, en parlant des mêmes formules, mais sans pouvoir pousser jusqu’au bout les calculs numériques, ni trancher définitivement la question. Cependant il croit pouvoir affirmer, d’après l’allure des résultats, que la figure piriforme, est instable. En 191 1, Poincaré disait encore dans ses Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, p. 189 : « La figure piriforme avons-nous dit, est peutêtre stable, mais il n’est pas certain qu’elle le soit réellement, Sir G. -H. Darwin a trouvé que cette figure est stable, mais d’après