CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D ÉQUILIBRE

M. Liapounoff elle serait instable. Pour trancher la question, il faudrait recommencer le calcul. Or, ce calcul est extrêmement pénible. »

C’est J. -H. Jeans qui a tranché définitivement la question et conclu à l’instabilité. Ce résultat, annoncé et résumé dans The Qbservatory , p. 199, 1916, est publié dans les Mémoires of the Roy. Astr. Soc. (t. 62, 1917). Il reprend les calculs de Darwin en utilisant le second critérium de Poincaré et celui de Schwarzschild sur la variation du moment d’inertie I, pour la détermination de la nature de l’équilibre au point de bifurcation. En première approximation, I reste constant et la ligne de bifurcation reste horizontale. En deuxième approximation, la ligne de bifurcation est parabolique, mais il y a une infinité de paraboles répondant à l’équilibre au point de bifurcation. La solution n’est donc pas déterminée si l’on se contente du second ordre. Darwin a calculé l’une de ces paraboles, mais seulement une, et qui conduisait à un équilibre stable. Jeans pousse donc les calculs jusqu’à la troisième approximation. On voit alors qu’il n’y a qu’une parabole bien déterminée relative aux conditions d’équilibre. Le moment d’inerlie correspondant à ces conditions est décroissant et la figure piriforine est instable (*).

En ce point critique, les deux figures possibles théoriquement, jacobien et piriforme, deviennent donc instables au même degré, instabilité du premier degré. Toutefois, la déformation de la figure d’équilibre, en bifurquant vers les piriformes, introduit des frottements et des forces dissipatives, qui font obstacle à la stabilité supplémentaire, que pourraient introduire la rotation et les forces gyroscopiques. En suivant la série des ellipsoïdes de Jacobi, au contraire, il ne s’introduit pas de frottements. Comme toute autre forme de la surface introduirait des frottements, qui mettraient obstacle par le fait même à la déformation, l’équilibre, quoique instable théoriquement, pourra se maintenir jusqu’au prochain point critique. Pour n = 4, on aura deux figures d’équilibre dont l’une est stable et l’autre instable. La stabilité abandonnera donc définitivement la série des Jacobi en ce point E, . Les véritables

(*) On pourra également consulter au sujet du calcul de Darwin une Note de M. Pierre Humbert {Comptes rendus, t. 170, p. t3).

bifurcations de stabilité auraient donc lieu pour ri — 2 et pour n — 4, en E et en E2, seulement pour les valeurs paires de n.

105. Représentation graphique générale de la stabilité des figures d’équilibre. — Pour appliquer d’une façon plus directe les conclusions établies au n° 98 par la représentation graphique des courbes d’équilibre, prenons la projection des courbes de la figure précédente sur le plan sOX2, en prenant l’axe X2 ou k comme axe des x et l’axe O s comme axe des y. Nous obtenons les courbes de la figure 53.

Pour X = o on a s = 1 et le point S représentatif de la sphère.

Fig. 53.

La courbe SM0M, représente la courbe des Maclaurin. La courbe EM'0 M0 représente celle des Jacobi. Les courbes des figures de bifurcation viendront couper celles-ci ou s’j greffer.

Les ellipsoïdes d’équilibre de Maclaurin ou de Jacobi peuvent être regardés comme des figures d’équilibre à un seul paramètre. La condition d’équilibre étudiée au n° 97 est

,, , N dü

Elle peut être remplacée ici par la formule (69) des Jacobi, étudiée au n°23, qui donne k ou X2 en fonction de s et t

Aq, *)=/(*, *) =

( s -f oa r

oc ( 1 H- x ) dx ,