CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

où t est défini comme fonction de s par la relation t — s pour les Maclaurin, et pour les Jacobi par la relation

(1— 5 — OjT — -Â^==0> A2 = (i -b a?)(i -bsa:)(i -\~lx)\

l’expression f \ (s, k ) est donc fonction seulement de s et de k. Ici k, qui contient le moment de rotation, joue le rôle du paramètre X et s joue le rôle de la variable q.

Pour s — t — £0 on a, comme on Ta vu, un minimum de k. La courbe des Jacobi, au voisinage de E ou M0, a sa concavité dirigée vers les À croissants et la stabilité est conservée, d’après la discussion des courbes de stabilité; la représentation graphique étant ici exactement la même.

Les autres points critiques sont donnés par l’équation

F R* S* Ri Si

Pour les Maclaurin, il faut ajouter la condition R2 = R3, et pour les Jacobi

p R 4 S 4 Ri Si ^

Dans ce dernier cas, les R* et les S* n’ont qu’une seule valeur pour chaque valeur de n.

Chaque F„ définira donc une courbe, qui coupera celle des Jacobi au point correspondant à l’ellipsoïde critique. Cette courbe dépendra d’un paramètre q dont la valeur s’identifiera avec celle de s en ce point. On aura autant de paramètres qu q2, . . . , qn et autant de courbes qu’il j a d’ellipsoïdes critiques, c’est-à-dire un nombre infini. L’équation F,, détermine la position de chacune des courbes d’équilibre par rapport à la courbe des Jacobi ou des Maclaurin au voisinage des points critiques. On peut donc appliquer directement les résultats étudiés plus haut.

Pour la figure piriforme où n = 3, et pour tous les n impairs, on obtient deux figures symétriques et identiques, par rapport au jacobien correspondant. On a donc une courbe formée de deux branches paraboliques ayant leur sommet et une tangente verticale au point critique et tournées toutes deux du même côté comme en M'. En effet, autour du point critique, on obtient la

APPELL. — IV

même ligure piriforme et la même valeur pour tous les éléments de variation pour deux valeurs symétriques ± s du paramètre qui détermine la déformation. Dans le cas de n — 3, on sait que les branches sont tournées du côté des 1 décroissants. Il y avait stabilité sur la courbe M0M'0. Il y a instabilité du premier degré sur les trois autres branches parties de M'0, pour les jacobiens et pour les ligures piriformes. On a marqué sur la courbe l’instabilité du premier degré en traits pleins et lins. Le point correspondant donne les mêmes résultats que M'0.

Pour ri — 4 et pour tous les n pairs, on obtient deux ligures différentes pour deux valeurs symétriques ± £ du paramètre. La valeur du moment d’inertie I, et des autres éléments, passe de la valeur I-f-ôI à I — <51 en traversant le point critique. La courbe représentative A2, J2, A'2 coupe celle des Jacobi sous un certain angle, sans revenir en arrière. Il y a simplement échange des stabilités. Le coefficient de stabilité oc, des Jacobi devenu positif en J* , reste toujours positif. Le second coefficient a2 s’annule et devient positif en J2. La branche des Jacobi, instable du premier degré entre Ji et J2, devient instable du second degré en J2. La branche J2A'2 de la nouvelle figure d’équilibre conserve le même degré de stabilité ou d’instabilité que la branche J,J2, instable du premier degré. L’autre J2 A2 prend un nouveau degré d’instabilité. Le coefficient de stabilité est commun aux deux courbes. Il s’annule et change de signe pour les deux. L’une des nouvelles figures de bifurcation est stable, par rapport ci Vellipsoïde de bifurcation , et l’autre instable. C’est bien le résultat trouvé par Liapounoff.

Pour n — 5, on a le point J3. Les Jacobi prennent une instabilité du troisième degré. Les figures d’équilibre voisines conservent l’instabilité du deuxième degré si leur courbe représentative est orientée comme sur la figure, ou prennent la même instabilité du troisième degré si elles sont orienlées comme celles de la figure piriforme. Ce dernier résultat est plus probable, car la déformation est du même genre pour n = 5.

On aura des résultats analogues sur la courbe des Maclaurin où n — 3 donnera un ellipsoïde de révolution creusé par trois fuseaux, soit ]\L , et ai = 4 avec p — o donnera deux figures, dont l’une correspondra à l’expérience de Plateau, soit M2, point critique analogue à E2 des Jacobi.