CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE. 2t)I

À chaque point critique, l’un des coefficients de stabilité s’annule, par conséquent le degré d’instabilité des Maclaurin et des Jacobi augmente chaque fois d'une unité. A la limite, le disque aplati ou l’aiguille allongée sont infiniment instables. Mais l’aplatissement progressif de ces ellipsoïdes peut se faire de façon régulière sans introduire de frottements ni de forces dissipalives, comme on l’a vu. D’ailleurs, on peut toujours admettre que, malgré l’instabilité de cet équilibre, les conditions étant rigoureusement conservées, cet équilibre se conserve assez pour que l’évolution se poursuive.

La déformation est alors limitée dans le cas des ligures impaires et des figures paires négatives par le fait que la valeur de Ç, intérieure à l’ellipsoïde, ne peut pas dépasser la longueur du plus petit rayon de courbure. Pour les figures positives, au contraire, on peut aùgmenter la valeur de Ç et du creusement intérieur, et admettre que les équations s’appliquent encore} au moins approximativement. Alors, pour n — 4, on aboutirait finalement à la formation de l’anneau de Plateau pour l’ellipsoïde de révolution de Maclaurin. Le second ellipsoïde critique de Jacobi aboutirait de même à la formation de deux satellites symétriques d’un astre central plus volumineux. On aurait un système triple au lieu du système double qu’aurait dû donner la figure piriforme. Il est peu probable, toutefois, que les satellites et les étoilés multiples se soient constitués ainsi par formation centrifuge, car les distances actuelles sont trop considérables pour s’expliquer à partir d’astres qui auraient été primitivement au contact.

106. Stabilité ordinaire ou temporaire des figures d’équilibre. — Dans toutes les démonstrations ci-dessus, il s’agit de la stabilité séculaire des figures d’équilibre, stabilité qui subsisterait même dans le cas de frottement et de forces dissipatives. H. Poincaré a abordé également, dans son Mémoire des Acta mathematica , l’étude de la stabilité ordinaire des ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi, en la ramenant à l’étude de leurs petits mouvements fondamentaux. C’est la stabilité qui ne subsisterait que temporairement, s’il s’introduisait des frottements.

H. Poincaré a montré que pour les ellipsoïdes de révolution de Maclaurin, la stabilité ordinaire persiste encore après la bifurca-

tion des Jacobi à trois axes, pour des ellipsoïdes plus aplatis, alors que la slabilité séculaire passe aux ellipsoïdes de Jacobi. Riemann avait montré déjà (*), dans l’hypothèse restreinte où la masse conservait uneforme ellipsoïdale dansla déformation, que la stabilité ordinaire se maintenait jusqu’à ce que l’applatissement des ellipsoïdes de révolution atteignît la limite 0,697.

Après l’étude de Poincaré, M. Bryan (2), en étudiant en détail les petits mouvements des ellipsoïdes de Maclaurin, regardait comme très probable la validité générale de la limite donnée par Riemann, mais sans pouvoir en donner une démonstration rigoureuse. Tout récemment M. E. Cartan a réussi à donner cette démonstration dans un Mémoire du Bulletin des Sciences mathématiques, t. 46, 1922, p. 332-342.

Pour les ellipsoïdes à trois axes, H. Poincaré s’était contenté de déclarer, comme probable, que la stabilité ordinaire s’étendait également au delà de l’ellipsoïde de bifurcation de la figure piriforme, où cesse leur stabilité séculaire.

M. E. Cartan dans un nouveau Mémoire a montré au contraire que la stabilité ordinaire des ellipsoïdes de Jacobi cesse en même temps que leur stabilité séculaire à la figure piriforme. Il montre que ceci résulte d’un théorème plus général et assez curieux : Pour les figures d’équilibre d’ordre n impair la stabilité ordinaire cesse en même temps que la stabilité séculaire. C’est le cas de la figure piriforme ou ovoïde n — 3. Dans le cas de n pair, la stabilité ordinaire subsiste encore un certain temps après qu’a cessé la stabilité séculaire.

107. Figures annulaires. L’anneau de Saturne. Masses indéfinies. Le cylindre elliptique. — Poincaré a étudié, au point de vue de l’équilibre, les trois hypothèses que l’on peut faire sur l’anneau de Saturne : anneau solide, ou liquide, ou composé de particules solides. Le calcul s’accorde avec les données de l’observation pour conclure que la troisième hypothèse, hypothèse de Cassini, peut seule cadrer avec la réalité. ( Figures d’équilibre d’une masse fluide , Chap. VIII.)

(1) Gôttingen, Abhanlungen , t. 9, 1860, p. 3.

(2) Phil. Trans., t. 180, 1 888, p. 187.