CHAPITRE VIII. — ÉTUDE DE LA STABILITÉ DES FIGURES D’ÉQUILIBRE

Laplace est le premier qui ait examiné l’hypothèse d’un anneau solide. Il a montré que si l’anneau était homogène son équilibre serait instable. Dès que le centre de l’anneau ne coïnciderait plus avec le centre de la planète, l’attraction de Saturne tendrait à augmenter l’écart. L’anneau tomberait sur la planète.

Il faut donc que l’anneau présente des irrégularités. Maxwell a fait ce calcul. Il a montré, en admettant une seule masse supplémentaire, qu’il fallait y concentrer les quatre cinquièmes de sa masse pour le rendre stable. Il faudrait en somme le transformer en un satellite, dont l’anneau serait un appendice.

Radau a examiné le cas où la densité varierait d’une façon continue d’un point à un autre. Il faudrait qu’elle varie de 2,7 à o,o4 ou de 67 à 1 , ce qui semble invraisemblable.

De plus, la section de l’anneau étant mince, il lui faudrait une grande résistance pour résister à l’attraction des satellites. Hirn a calculé qu’il lui faudrait une résistance 1000 fois supérieure à celle de l’acier. L'anneau de Saturne ne peut pas être solide.

Laplace a fait le calcul du potentiel et de la formule générale de la surface d’équilibre dans le cas d’un anneau fluide. Il a étudié le cas d’une section circulaire ou elliptique, mais sans discuter complètement l’équation.

Mrae Kovalewski qui a fait cette discussion a montré que la section ne pouvait pas être ellipsoïdale ni symétrique par rapporté un axe parallèle à l’axe de rotation.

Maxwell est le premier qui ait soumis au calcul l’hypothèse de Cassini, et montré que c’est la seule qui réponde aux conditions mécaniques de l’équilibre. L’observation confirme d’ailleurs également bien l’hypothèse, car l’anneau est transparent et la lumière le traverse sans trace de réfraction. Il faut donc supposer qu’il est composé de corpuscules isolés les uns des autres. Les observations spectroscopiques montrent d’ailleurs que la vitesse d’une molécule de l’anneau n’est pas la même sur le bord interne que sur le bord externe.

Maxwell montre que le mouvement de perturbation se transmet d’un corpuscule à un autre avec un certain retard, à la façon d’une onde. Pour que ces ondes n’amplifient pas indéfiniment une perturbation, il faut que la masse ne dépasse pas une certaine limite qu’il calcule. On peut en déduire la densité limite de l’anneau, connaissant ses dimensions. Cette densité exigée pour la stabilité

de l’équilibre est la même dans le cas d’un liquide et des corpuscules solides. Il faut que cette densité soit plus petite que i : 3oo. Aucun liquide connu ne peut remplir cette condition.

D’ailleurs dans le cas de l’anneau liquide il faut que la pression à la surface soit dirigée vers l’intérieur. Or Laplace avait déjà montré, qu’en admettant deux anneaux à section elliptique, la

densité aurait dû être supérieure à ^ pour l’anneau extérieur et à

2 pour l’anneau extérieur. Il y aurait incompatibilité avec la limite de Maxwell.

Poincaré avait démontré que la vitesse de rotation, dans le cas d’une masse homogène et quelle que soit la forme, ne peut pas dépasser une limite donnée par la formule du n° 17 :

Il en déduit, pour l’anneau de Saturne, supposé liquide et quelle que soit la section de l’anneau, que sa densité doit être supérieure à i : 16, pour qu’il y ait équilibre. Cette limite est encore incompatible avec celle de Maxwell et l’anneau de Saturne ne peut pas être liquide.

Remarque. — L’attraction d’une masse indéfinie n’a pas de sens défini en général. Mais, si la masse affecte la forme d’un cylindre indéfini homogène, on montre que l’attraction a un sens défini et peut se calculer. De là, le problème purement mathématique, sans application à la cosmogonie, de la recherche des figures d’équilibre d’une masse liquide homogène indéfinie, affectant la forme d’un cylindre, qui tourne uniformément autour d’un axe fixe parallèle aux génératrices.

Le problème d’ailleurs se simplifie beaucoup et se ramène à l’étude de l’équilibre d’une section plane normale aux génératrices du cylindre et par conséquent à un problème à deux dimensions.

Parmi les figures possibles, on trouve le cylindre circulaire quand 7i/p << ü>2< 2 7r/p . et le cylindre elliptique quand a>2-< 7r/p.

M. Jeans, puis Globa-Mikhailenko ont publié d’intéressants travaux sur les figures d’équilibre possibles, et notamment sur la recherche des figures cylindriques elliptiques de bifurcation au sens de H. Poincaré.