CHAPITRE IX

FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE HOMOGÈNE EN ROTATION ET SOUMISE A LA TENSION SUPERFICIELLE,

108. Historique de la question. — La question étudiée dans les chapitres précédents conduisait à la détermination de la figure des planètes et à l’évolution de leur forme avec l’accroissement de la vitesse de rotation. L’étude de ces formes avait même conduit de grands esprits à envisager l’hypothèse qu’une masse en rotation pouvait se fractionner en plusieurs parties et à voir là, après H. Poincaré, un moyen d’expliquer la formation des planètes à partir du Soleil, ou des satellites par leur planète (Darwin) ou des étoiles doubles (Jeans). Nous avons vu que les calculs poussés plus loin ne permettent pas d’envisager le fractionnement d’une masse homogène.

Cependant l’expérience célèbre de Plateau, au moyen d’une sphère d’huile tournant dans un liquide de même densité, avait abouti à la formation d’un anneau détaché de la masse centrale par la force centrifuge, et qui se fractionnait lui-même en parties plus petites. On y a vu l’image de la formation des planètes et des satellites et la justification expérimentale de la célèbre hypothèse de Laplace.

Il faut dire tout de suite que l’hypothèse et l’expérience en question n’ont absolument aucun rapport entre elles. Dans l’hypothèse de Laplace, ei dans la réalité, la forme des corps en rotation dépend uniquement de l’attraction mutuelle de leurs parties. Dans l’expérience physique au contraire, l’attraction est complètement négligeable, et la forme dépend uniquement de la tension superficielle, et non des forces internes.

Néanmoins l’expérience de Plateau posait un problème mathématique intéressant, et qui se rattache étroitement à celui qui a été étudié dans les premiers chapitres. A l’instigation de P. Appell il a été entrepris par M. Globa-Mikhaïlenko, repris par M. Boussinesq, puis, sur les conseils de ce dernier, par M. A. Charrueau, qui en a fait l’étude complète, étendue au cas des figures annulaires et de la stabilité.

M. Globa-Mikgaïlenko a donné la forme générale de la courbe méridienne, en exprimant son ordonnée à l’aide d’une certaine intégrale hyperelliptique. Puis il a donné une discussion générale du problème et intégré l’équation du méridien, au moyen des fonctions elliptiques, dans un cas particulier très important. Mais il n’a pas poussé l’étude de ce cas jusqu’à la détermination de la forme d’une masse liquide, de densité et de volume donnés, soumise à une rotation donnée.

M. Boussinesq, en reprenant le problème, a montré l’importance qu’il y avait à introduire la considération de la masse, du volume et des données physiques, qui permettaient seules de déterminer les dimensions des figures, en même temps que leur forme. Il a donné du problème un énoncé simple et indépendant de la théorie générale de M. Globa-Mikhaïlenko et une solution par développements en séries, applicables pour certaines valeurs des données.

M. A. Charrueau, dans un premier travail, a réussi à donner la solution complète du problème et de l’évolution des figures d’équilibre, quelles que soient les données physiques, avec le seul secours des intégrales elliptiques, mais cela seulement jusqu’à la transformation de la masse en anneau. Sur les conseils et indications de M. A. Véronnet, et dans un second travail, qui a fait l’objet d’une Thèse, il a étendu ces résultats aux figures annulaires elles-mêmes, avec application à l’expérience de Plateau.

Le présent chapitre est extrait de l’excellente thèse de M. Charrueau. L’ensemble des travaux relatifs à la question est indiqué à la fin de la Bibliographie.

109. Équation de l’équilibre de la surface libre. — Nous considérons une masse liquide homogène et incompressible tournant autour d’un axe avec une vitesse angulaire constante, et soumise seulement à la force centrifuge et à la tension superficielle. Il s’agit