CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC
de déterminer la forme extérieure qu’elle prendra sous l’action d’une vitesse de rotation donnée et quelconque.
Prenons l’axe de rotation pour axe des y et une perpendiculaire à cet axe pour axe des x. Les ligures étudiées seront de ré olution autour de O y, et symétriques par rapport à un plan équatorial normal à cet axe. La section méridienne sera symétrique par rapport aux deux axes, et il suffira d’étudier la forme de la portion de courbe située dans le premier quadrant.
Soient p la densité, w la vitesse angulaire, p la pression en un point intérieur, pQ la pression constante sur l’axe de rotation. A l’intérieur de la masse les particules sont soumises à la seule force
centrifuge, qui dérive du potentiel ^ w2 (x2 -hz2). La formule générale de l’équilibre hydrostatique (4$) (Chap. IIÏ) s’écrit
Les surfaces d’égale pression sont des cylindres de révolution autour de l’axe définis par r2 = x2 z 2. On pourra ne considérer que la section méridienne et faire z — o.
Sur la surface libre, il faut ajouter le potentiel dû à la tension superficielle et la pression interne p devra équilibrer en outre la pression extérieure /?(, que nous supposons partout constante. On aura
P 1 = P 0+' -pw2^2.
/(ïf+ ÏT')’
R est le rayon de courbure du méridien, R' l’autre rayon de courbure principale de la surface, le centre de courbure correspondant se trouvant sur l’axe de révolution.
Cette équation définit l’équilibre de la surface, en fonction des forces et des données, p,/, w.
110. Équation différentielle du méridien. — Il faut exprimer les rayons de courbures R, R' en fonctions des coordonnées x , y.
On a les formules
dx vW-’
x sJ i -h y'2
Faisant la somme de ces deux valeurs et la portant dans (2) il vient
1 d xÿ />o — p\ pto2 9
œ dx y/ï 4- y 2 ” 7 + 2/ ^
On multiplie par x et 1’ on intègre, d’où
xy
P0 — P'xo.
pto2
Pour les masses non annulaires, qui sont coupées par l’axe de rotation, la constante C est nulle. En effet sur cet axe x ■= o, l’expression en yr n’est jamais infinie, et il faut C — o. Il vient alors en divisant par x , et prenant le signe — devant y' , signe qui convient dans le premier quadrant, où y'<C. pour go faible, il vient
pto2
Sur l’axe de rotation onaa; = o, d’où y' = o. La tangente au méridien est normal à l’axe de rotation, pour les deux points situés sur cet axe. Pour les figures non annulaires d’équilibre la surface coupe toujours normalement l’axe de rotation.
Désignons par a le rayon équatorial, à l’extrémité de ce rayon, pour x — a, la tangente au méridien est normale à O x; y' = — 00 et (6) nous donne
P 0 — Pi ,
pto2
Po — pi y / pü>2a:i \
Cette relation permet d’éliminer les pressions /)0, ? el (6) devient
pto2 a3 \ x
Yfx>= +(*)•
On en déduit immédiatement l’équation différentielle de la courbe méridienne
dy = —
111. Forme générale de la courbe méridienne. — Nous pouvons faire sur (8) une remarque fondamentale , c’est que yr peut
