CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC. 3f

h jusqu’à la formation d’un anneau, où Ton a, d’après (29),

Cetle valeur de w2 est la même que celle qui est donnée par (29) pour h — 1 , où la figure commence à se creuser aux pôles.

La courbe de variation de ca2, en prenant le premier membre de (29) comme ordonnée, est représentée par la courbe de la figure 56.

118. Variation du rayon équatorial. — La vitesse de rotation étant définie comme uniquement fonction de h, nous pouvons tirer aA de l’expression même du paramètre /z, en fonction de w2 et de h. C’est également une fonction de h seul. On a

pi o2 a3

Son calcul dépendra, comme celui de co2, de b et dey, uniquement de la fonclion <I> définie par ( 25), (24) et (23).

On montre que a est toujours croissant avec h. Si l’on désigne par 1 sa valeur pour la sphère w = o, il prend la valeur i,43 pour la valeur maximum de la vitesse de rotation A = 1,66, et la valeur 1,67 au moment de la formation de l’anneau.

La courbe de ces valeurs de a étant tracée par rapport à h on en déduira la vraie grandeur des figures d’équilibre pour toute valeur de /i, par conséquent pour toute valeur des données.

119. Expression du moment d’inertie et de l’énergie. — En coupant la masse par des tranches élémentaires normales à l’axe de rotation, d’épaisseur dy) on aura pour l’expression de la surface, en tenant compte de (9) et (20),

(32) dS = 2nx ds, S = 4 71 f \/ 1 + y'2 X dx = 2% a2 f — ^ *

J-o Jo \J I — l ?2(0

C’est l’intégrale de Legendre de première espèce F(c, 9) déjà trouvée (23) dans l’intégration de la courbe méridienne y. Il faut

donner ici à <p sa valeur < p0 correspondant à x = o, on a

sJ h*y I H- 2 h

Le moment d’inertie pour un des disques élémentaires et pour l’ensemble sera

(33) d\ 4? - p;:#4 dy: I = pn f x 4 == - f - »

2 J 2 Jo v1 — *?2( O

Or on a identiquement, d’après (19).

d / — — 2 — 3(i — h)lo(i) — ,5'hl*v(l)

dt 2 y/ 1 — t cp2(£)

En intégrant cette expression de o à 1 , le premier membre est nul et en tenant compte de (33), (3a), (27). On obtient la relation

' 2za* 2 ira3 2 rcpa3

On obtient ainsi l’expression remarquable du moment d’inertie I en fonction des expressions de la surface S et du volume V, déjà calculés. Le facteur commun 27m2 disparaît de l’expression cidessus et le coefficient de I se simplifie en tenant compte de la valeur (10) de A,

R0 est le rayon de courbure au pôle, donné par (i4)-

L’énergie potentielle de la tension superficielle est égale à f S, l’énergie cinétique à^Ico2. On aura donc pour l’énergie totale de la masse

(36) W = Il»*+/S=-j/(7S-6^).

120. Condition d’équilibre déduite du principe des travaux virtuels. — Le travail virtuel dû à la force centrifuge est égal à^co2ôI, où <31 représente une variation quelconque du moment d’inertie. La vitesse de rotation ca étant supposée inaltérée parla déformation.