CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC. 3(X
Le travail virtuel dû à la tension superficielle est égal à la variation de l’énergie potentielle f S de cette tension, donc égale
à -/as.
Enfin le travail de la pression extérieure p{ est égal à — p{ <5V. Si nous considérons une déformation respectant les liaisons, nous avons <5V = o, le liquide étant supposé incompressible. Le travail virtuel dû à la pression extérieure py est nul.
Le principe des travaux virtuels exige, pour l’équilibre, que dans toute déformation imposée la somme des deux premiers travaux virtuels soit nulle. Gomme les déformations respectent les liaisons nous pouvons écrire d\ et dS, au lieu de ôl et ôS, et la condition d’équilibre devient
(37) l'S-dl-fdS,' ^ = %-
121. Stabilité de l’équilibre. — La formule (87) montre que, dans une déformation compatible avec les liaisons, le travail total de la force centrifuge et de la tension superficielle est la différentielle exacte d’une fonction de forces U
(38) U == - la)2 — /S-hconst.
La fonction des forces — f S correspondant à la tension superficielle est égale et de signe contraire à l’énergie potentielle f S de cette tension. On a une formule analogue à celle de Poincaré.
D’autre part, nous avons vu que toutes les figures d’équilibre dépendent seulement de deux paramètres, h pour la forme et a pour la grandeur. Or h contient w et a. Nous pourrons considérer ces figures, et les fonctions qui en dépendent, comme des fonctions des deux variables co et a.
Pour une valeur donnée de la vitesse de rotation, les conditions d’équilibre s’écriront donc en exprimant que la dérivée de U par rapport à a est nulle :
1 ^ d\ „dS da 2 da J da
C’est la condition (87) trouvée plus haut.
Pour que l’équilibre soit stable, il faut et il suffit que U soit
3lO FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
maximum, ou la dérivée seconde négative,
d2 U i (d\ a/\ i 9/dSyd*l
da2 2 da- \ û£S w2 / 2 \da ) rfS2
Gomme la parenthèse est nulle pour une position d’équilibre, on a
Uo)
d9-u 1 /dsydn dn
àa* ~ 1 M\da') rfS*’ rfS* < °’
Or est la dérivée de ^ donné par (37), et qui varie en sens inverse de co2. Donc quand la vitesse de rotation w croît, depuis
zéro jusqu’à son maximum, “ décroît, donc est négatif et
également. L’équilibre est stable. Quand co décroît depuis sa
valeur maximum, jusqu’aux figures annulaires, l’équilibre est instable.
122. Cas des figures annulaires. — A partir d’une certaine vitesse de rotation, et d’une certaine valeur du paramètre A, la masse ne touche plus l’axe de rotation et prend la forme d’un anneau. Les équations du problème et leur discussion sont plus compliquées et il faut reprendre l’étude précédente sur ce nouveau problème.
L’équation de la figure d’équilibre est la même que (2). On en déduit par intégration la même équation (5) en j''. Mais ici on ne peut pas faire x — o, car la masse ne coupe pas l’axe, et la constante G n’est pas nulle. On pourra écrire (5) sous la forme
(4o zf^L = *«**+ a*» b = «kæ), A = — r1’ *2=fr
vu- y2 2 /
y est toujours du signe contraire de pour la demi-section de
l’anneau située dans le premier quadrant, la seule qu’il soit nécessaire de considérer. On aura
dy =
dx
En remplaçant x 2 : a 2 par £, comme dans le premier cas, y sera donné par une intégrale hyperellip tique, au lieu d’une intégrale
